高中数学数据的数字特征-课文知识点解析VIP免费

数据的数字特征-课文知识点解析要点提炼1.众数、中位数、平均数在教材所给问题中，甲组数据的中位数是21（18+22）=20；众数是10、18、30；平均数是22.2.乙组数据的中位数是21（27+31）=29；众数是23、24；平均数是28.6.我们再看下面的例子：假设我们通过抽样，获得了某城市100位居民2003年的月均用水量（单位：t）.3.12.52.02.01.51.01.61.81.93.42.62.22.21.51.20.20.40.33.22.72.32.11.61.23.71.50.53.32.82.32.21.71.33.61.70.63.22.92.42.31.81.43.51.90.83.02.92.42.41.91.31.41.80.72.52.82.32.31.81.31.31.60.92.62.72.42.11.71.41.21.50.52.52.62.32.11.61.01.01.70.82.82.52.22.01.51.01.21.80.6作出这些样本数据的频率直方图.频率组距月均用水量(t)0.500.400.300.200.100.511.522.533.544.50图1－5－1从图1－5－1中可以看出月均用水量的众数是2.25t（最高矩形的中点）.这组数据的中位数可经计算求得为2，那能否从频率分布直方图中估计中位数呢？我们知道在这组数据中有50%的数小于或等于中位数，也有50%的数大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计中位数的值（如图1－5－2虚线处代表中位数的估计值）.由图1－5－2显示，大部分居民的月均用水量在中部，但也有少数居民的月均用水量特别高，因此，应该对这部分居民的用水量作出合理限制.如果有n个数x1，x2，…，xn，那么它们的平均数为x=n1（x1+x2+…+xn）.全析提示一组数据的众数、中位数、平均数既可以由计算得出，也可以在数据的频率直方图中显现出来.在图1－5－1中我们能更容易地理解它们的意义和作用.思维拓展中位数不受少数几个极端值的影响.用心爱心专心频率组距月均用水量(t)0.500.400.300.200.100.511.522.533.544.50图1－5－2居民月均用水量的平均数可由公式x=1001（x1+x2+…+x100）求得x=1.973.在频率分布直方图中，平均数是“重心”，也可以显示出来，如图1－5－3.频率组距月均用水量(t)0.500.400.300.200.100.511.522.533.544.50图1－5－3平均数与每一个数据都有关，因此，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.由图1－5－3可以看出，用水量最多的几个居民对平均数影响较大，因为他们的用水量与平均数相差太大了.作为刻画一组数据集中趋势的统计量，平均数、中位数、众数，它们各有各自代表的角度，各有优缺点，也各有各的用处.平均数是刻画一组数据集中趋势最常用的统计量.2.标准差有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677如果你是教练，你应当如何对这次射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？如果看两人本次射击的平均成绩，由于x甲=7，x乙=7，两人射击的平均成绩是一样的，那么，是否两个人的水平就没有什么差异呢？频率0.40.30.20.1环数45678910频率0.40.30.20.1环数45678910(1)(2)00图1－5－4思维拓展与中位数、众数比起来，平均数可以反映出更多的关于数据全体的信息.全析提示从不同的角度出发，对同一组数据所表达的信息也不同.教练员要分析两名运动员的优缺点，以便有针对性地训练；若是选拔性考核，就要看两名运动员谁的成绩更好一些.用心爱心专心直观上看，还是有差异的.例如，甲成绩比较分散，乙成绩相对集中（如图1－5－4所示）.因此，我们还需要从另外的角度来考察这两组数据.例如，在作统计图、表时提到过的极差.甲的环数极差=10－4=6，乙的环数极差=9－5=4.它们在一定程度上表明了该组数据的分散程度.显然，极差对极端值非常敏感，注意到这一点，我们就可以理解“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的统计策略.考察一组数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是数据到平均数的平均距离，一般用S表示.假设一组数据是x1，x2，…，xn，x表示这组数据的平均数.xi到x的距离是|xi－x|（i=1，2，…，n）.于是x1，x2，…，xn到x的“平均距离”是S=nxxxxxxn||||||21.由于上式含有绝对值，运算不太方便，因此，常改用如下公式来计算标准差.S=])()()[(122221xxxxxxnn.一组数据中...