对数函数及其性质(三)三维目标一、知识与技能1.掌握对数函数的单调性及其判定.2.能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质.二、过程与方法1.熟练利用对数函数的性质进行演算，通过交流，使学生学会共同学习.2.综合提高指数、对数的演算能力.3.渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想.三、情感态度与价值观1.用联系的观点分析、解决问题.2.认识事物之间的相互转化.3.加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，培养学生数学交流能力.教学重点对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用.教学难点单调性和奇偶性的判断和证明.教具准备投影仪及作业讲义.教学过程一、创设情景，引入新课1.复习函数及反函数的定义域、值域、图象之间的关系.2.指数式与对数式比较.3.画出函数y=2x与函数y=log2x的图象.二、讲解新课在指数函数y=2x中，x为自变量（x∈R），y是x的函数（y∈（0，+∞）），而且它是R上的单调递增函数.可以发现，过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点.另一方面，根据指数与对数的关系，由指数式y=2x可得到对数式x=log2y.这样，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y，x在R中都有唯一确定的值和它对应.也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这时我们就说x=log2y（y∈（0，+∞））是函数y=2x（x∈R）的反函数.在函数x=log2y中，y是自变量，x是函数.但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数.为此，我们常对调函数x=log2y中的字母x、y，把它写成y=log2x.这样，对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））是指数函数y=2x（x∈R）的反函数.由上述讨论可知，对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））是指数函数y=2x（x∈R）的反函数；同时，指数函数y=2x（x∈R）也是对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））的反函数.因此，指数函数y=2x（x∈R）与对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））互为反函数.请你仿照上述过程，说明对数函数y=logax（a＞0，且a≠1）和指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）互为反函数.练习：求下列函数的反函数：（1）y=0.2－x+1；（2）y=loga（4－x）；（3）y=.例题讲解【例1】已知函数y=loga（1－ax）（a＞0，a≠1）.（1）求函数的定义域与值域；用心爱心专心116号编辑（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x对称.分析：有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1－ax的范围，可应用换元法，令t=1－ax以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论.解：（1）1－ax＞0，即ax＜1，∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）.令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat.∴a＞1时，值域为（－∞，0）；0＜a＜1时，值域为（0，+∞）.（2） a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增，∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减. 0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减.（3） y=loga（1－ax），∴ay=1－ax.∴ax=1－ay，x=loga（1－ay）.∴反函数为y=loga（1－ax），即原函数的反函数就是自身.∴函数图象关于y=x对称.【例2】设a＞0，a≠1，f（x）=loga（x+）（x≥1），求f（x）的反函数f－1（x）.分析：要利用对数式与指数式的互化关系，按求反函数的有关方法、步骤进行求解.解： y=loga（x+），∴x+=ay，x－ay=－，（x－ay）2=x2－1，x2－2xay+a2y=x2－1，2xay=a2y+1.∴x=.∴反函数为y==（ax+a－x）.在原函数中， x≥1，而x和在［1，+∞）上都单调递增，∴x+≥1.∴a＞1时，y≥0，0＜a＜1时，y≤0.故所求函数的反函数为当a＞1时，f－1（x）=（ax+a－x）（x≥0），当0＜a＜1时，f－1（x）=（ax+a－x）（x≤0）.【例3】已知函数f（x）=（）x（x＞0）和定义在R上的奇函数g（x）.当x＞0时，g（x）=f（x），试求g（x）的反函数.分析：分段函数的反函数应注意分类讨论.由于f（x）为奇函数，故应考虑x＞0，x＜0，x=0三种...
