高中数学奥赛系列辅导资料 动点轨迹方程的求法教案VIP免费

动点轨迹方程的求法一、直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时．例1（1994年全国）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有MQMN，即MQONMO22，2222)2(1yxyx．整理得0)41(4)1()1(222222xyx，这就是动点M的轨迹方程．若1，方程化为45x，它表示过点)0,45(和x轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为2222222)1(3112yx）－（，它表示以)0,12(22为圆心，13122为半径的圆．二、代入法若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．例2（1986年全国）已知抛物线12xy，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．解：设),(),,(11yxByxP，由题设，P分线段AB的比2PBAP，∴.2121,212311yyxx解得2123,232311yyxx.用心爱心专心1又点B在抛物线12xy上，其坐标适合抛物线方程，∴.1)2323()2123(2xy整理得点P的轨迹方程为),31(32)31(2xy其轨迹为抛物线．三、定义法若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现．例3（1986年广东）若动圆与圆4)2(22yx外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A）012122xy（B）012122xy（C）082xy（D）082xy解：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122xy．选（B）．例4（1993年全国）一动圆与两圆122yx和012822xyx都外切，则动圆圆心轨迹为（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆解：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有.1,2,1MOMCrMCrMO动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．四、参数法若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．例5（1994年上海）设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为用心爱心专心2t．（A）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且12ttOQOP，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：（1）设所求椭圆方程为).0(12222＞＞babxay由题意得,,122tbaba解得.11.122222tbtta所以椭圆方程为222222)1()1(tytxtt．(2)设点),,(),,(11yxQyxP解方程组,,)1()1(1122122122txytytxtt得.)1(2,)1(212121ttytx由12ttOQOP和1xxOQOP得,2,2,2222tytxtytx或其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为用心爱心专心3)22(222xyx和)22(222xyx．其轨迹为抛物线yx222在直线22x右侧的部分和抛物线yx222在直线22x在侧的部分．五、交轨法一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．例6（1985年全国）已知两点)2,0(),2,2(QP以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设)1,1(),,(t...