高中数学奥赛系列辅导材料 集合(二)教案VIP免费

集合(二)【经验谈】集合是数学中的重要基础知识，不论是高考还是数学竞赛中都少不了它的一席之地。本文将帮助你彻底掌握集合知识。【内容综述】集合是组合数学的基础，也是高中数学竞赛中的重要组成部分。希望大家通过本讲学习开拓思路，灵活解题，另外，要想解好集合题目，相关知识也很重要。【例题分析】例1：设，，…是有限集合的50个子集，每个子集都含有的半数以上的元素，证明：存在子集，它至多含5个元素，并且和集合，…中每一个集合至少有一个公共元。分析：我们知道，这种题目并没有什么特别好的办法，只能一个一个把这5个元素找出来，我们还是可以先将题目简化成简单形式，看是否方便理解一些，但这里我们就不这么做了。证明：设集合中元素个数为n，子集，，…中每一个都含以上的元素，即所有这些子集的元素个数大于由抽屉原理，必有集合的元素，它至少属于26个子集，同理可证，对每个，在子集，，…，中至少有个子集，它们具有公共元素，在集合中取出一个元素，它至少属于26个子集，并作为集合中五个元素之一，去掉包含这个元素的26个子集，在余下24个子集中取一个元素，它至少属于13个子集，去掉这13个子集，在余下的11个子集中取一个元素，它至少属于6个子集，在余下5个子集中取一个元素，它属于3个子集，剩下两个子集再取一个公共元素就可以了，于是，求得集合的至多5个元素（在上述过程中所取的元素可能重复，所以可能小于5），它们构成集合，而子集，，…中每一个都至少含有它的一个元素。说明：这道题目当和均较小时也就可以作为小学生竞赛题，而数目增大以后却成为了英国高中竞赛题目，假设我们在分析较小的数时可以把规律找出，而这是很简单的，那么整道题目也就迎刃而解了，这就告诉我们，做这类整数问题时，应该时时刻刻想到先将数目变小看看规律，然后再做题目本身。例2：有11人管理一个保险柜，可以在柜上加若干把锁，每把锁可以有若干把钥匙，问：如何加锁和如何分配各锁的钥匙，才能使任何6个人可以把保险柜打开，但任意5个人却不能。分析：我们反过来想一下，假设，，…是11个人打不开的锁的集合，从11个人用心爱心专心中任意找5个人的可能性有种情况。要想把它们都区别开，也就是说至少要有462把锁。那么再对462把锁进行构造就可以了。解：设加把锁，又设，，…是这11个人各自打不开的锁的集合，从11个集合中任选5个并集都不相同，故至少应有锁把，为分配好各锁的钥匙，设锁号依次为1号，2号，…462号，同时把11个人任取5个的组合也编上1至462号，然后把锁和组合一一对应起来，给每个人发钥匙时，他所在的组的号的钥匙不给他，其他钥匙都给他，这时就满足题设了。说明：这个构造难度很大，这主要原因还是因数目太大了，也应该先从小的数目做起，最后回到原题。例3：把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。分析：首先考虑到是一个很特殊的数，其次我们发现若两个集合的元素个数除以2的若干次幂后若为奇数，那么，它们之间挪后就应为偶数这一事实，若还不能想到解答就试一下，时的情况，相信解答就不会难找到了。证明：考虑含奇数个元素的子集（如果有这样的子集），因为所有子集所含元素的个数总和是偶数，所以具有奇数个元素的子集个数也是偶数，任意将所有含有奇数个元素的子集配成对，对每对子集按题目要求的规则移动：从较大的子集挪出一些元素，添加到较小的子集，挪出的元素个数为较小子集的元素个数，于是得到的所有子集的元素个数都是偶数，现在考虑元素个数不被4整除的子集，如果，则总共有两个元素，它们在同一个子集，因此设，因为子集的元素个数的总数被4整除，因此这样的子集的个数为偶数，任意将这样的子集配成对，对每一对子集施行满足题目要求的挪动，于是得到的每个子集数均可被4整除，依此做下去，最后得到的每个子集元素个数均可被整除，也就是只能有一个子集，它的元素个数为，证毕。说明：这道题的证明...