高中数学四种命题--反证法人教版第一册VIP免费

四种命题--反证法教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法。2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力。教学重点：反证法证题的步骤。教学难点：理解反证法的推理依据及方法。教学方法：讲练结合教学。教具准备：多媒体。教学过程一、复习回顾初中已学过反证法，什么叫做反证法？（从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.）本节课将进一步研究反证法证题的方法.二、讲授新课反证法证题的步骤是什么？（共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.）反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。反证法的基本思想：通过证明命题的否定是假命题，从而说明原命题是真命题。例如：“在ΔABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角。”显然命题的结论是正确的，但直接证明是较困难的，而用反证法就容易证明之。请一同学证明。（注意：因∠B不是锐角有两种情况，即∠B为直角或钝角，必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B一定是锐角。）由此在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确。下面看例题：例1：用反证法证明：如果a>b>0,那么ab说明：假设a不大于b，即ab或ab。 a>0,b>0，ab;∴aaba与abbb用心爱心专心即aab，abb∴ab(推理利用了不等式的传递性)。又由ab∴ab，但这些都与已知条件0ab矛盾。∴ab成立。例2：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图：在⊙0中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径。求证：弦AB、CD不被P平分。证明：假设弦AB、CD被P平分，连结OP，由平面几何知识可推出：OP⊥AB且OP⊥CD又推出：在平面内过一点P有两条直线AB和CD同时与OP垂直，这与垂线性质矛盾，则原命题成立。由上述两例题可看：利用反证法证明时，关键是从假设结论的反面出发，经过推理论证，得出相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了命题结论的正确性。反证法证题的关键是：第二步即从结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾。反证法引出的矛盾有以下几种情况：（1）与原题中的条件矛盾；（2）与定义、公理、定理、公式等矛盾；（3）与假设矛盾。例3：若p>0,q>0,p3+p3=2.试用反证法证明：p+q≤2。分析：此题直接由条件推证p+q≤2是较难的，由此用反证法证之。证明：假设p+q>2, p>0,q>0.（p+q）3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.又 p3+q3=2。∴代入上式得：3pq(p+q)>6,即：(pq(p+q)>2.……(1)又由p3+q3=2，即(p+q)(p2-pq+q2)=2代入（1）得：pq(p+q)>(p+q)(P2-pq+q2).但这与（p-q）2≥0矛盾，∴假设p+q>2不成立。故p+q≤2.反证法是一种证明题目的间接方法，在有些题目的证明中用反证法非常简洁，但并不是每一题用反证都恰倒好处，那么，对于哪些题目适合用反证法呢？用心爱心专心从这些条件推出所知的也很少或无法用已知条件进行直接证明的。当问题中能用来作为推理依据的公理、定理很少，无法直接证明或证明无从下手的结论以否定的形式出现，无法引用定理来证明否定形式的结论。对要证明的命题，已知它的逆命题是正确的。要求证明的命题适合某种条件的结论唯一存在。对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高。例4．用反证法证明：2是无理数证明：假设2不是无理数，即2是有理数则设2=0mn（,mn是互质的正整数）则222mn，222mn，m是偶数，设12mm（1m是正整数），则222112(2)4nmm即2212nm，n为偶数则,mn都是偶数，此与,mn互质矛盾。因此，假设“2不是无理数”不正确。所以，2是无理数。三、课堂练习：四、课堂小结本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高。五、课后作业预习：下节内容，预习提纲：1.充分条件与必要条件的意义是什么？...