第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5，3，0.8B．10，6，0.8C．5，3，0.6D．10，6，0.6解析：将方程25x2＋9y2＝225化为椭圆的标准方程为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以e＝＝＝0.8，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6.故选B.答案：B2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：两方程都表示椭圆，由方程可知c2都为16，所以焦距2c相等．答案：D3．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为()A．(±13，0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±)解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．答案：D4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝1，e＝＝，所以a＝2，b＝，所以椭圆C的方程是＋＝1.答案：D5．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0，0)，半径为a.由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为d＝＝a，则a2＝3b2.又e2＝1－＝，所以e＝，故选A.答案：A二、填空题6．已知椭圆C：x2＋3y2＝3，则椭圆C的离心率为______．解析：椭圆C的标准方程为＋y2＝1，所以a＝，b＝1，1c＝，故e＝＝＝.答案：7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜e≤.则长轴长的取值范围为________．解析：因为0＜e≤，所以0＜e2≤.又因为e2＝1－，b＝1，而0＜1－≤，所以－≤－1＜0，所以≤＜1，所以1＜a2≤4，而1＜a≤2所以长轴长2a∈(2，4]．答案：(2，4]8．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值等于____．解析：分两种情况进行讨论：当焦点在x轴上时，a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1，又因为e＝，所以＝，解得k＝4。当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k，又因为e＝，所以＝，解得k＝－.所以k＝4或k＝－答案：4或－三、解答题9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是，长轴长是6；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝6，e＝＝，所以a＝3，c＝2.所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.所以椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以c＝b＝3所以a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1.10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．解：由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．如题图所示，则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.2又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.所以＝，所以＝，所以b＝2c.所以b2＝4c2，所以a2－c2＝4c2，所以＝.所以e＝＝.B级能力提升1．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.B.C．2－D.－1解析：因为|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c，所以|PF1|＝|F1F2|＝2c.所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c.又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a.所以＝－1，即e＝－1.答案：D2．已知AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为()A．b2B．abC．acD．bc解析：设A的坐标为(x，y)，则根据对称性得B(－x，－y)则△AFB面积S＝·|OF|·|2y|＝c|y|由椭圆图象知，当A点在椭圆的顶点时，其△AFB面积最大值为bc.答案：D3.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF2＝2F2B，AF1·AB＝，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为...
