3.1.3导数的几何意义要点精讲理解并感受函数在一点处的导数的几何意义是：函数在该点处的导数的值等于该点处切线的斜率.典型题解析【例1】已知曲线y=和这条曲线上的一点P(2,),判断曲线y=在点P处是否有切线,如果有,求出切线方程．【分析】对斜率存在的情况,可将切线是否存在的问题转化为研究割线PQ的斜率的极限问题,因而可先求出函数的增量Δy,写出kPQ,再讨论kPQ的极限．【解】在曲线y=上点P附近取一点Q．设Q点的横坐标为2+Δx,则点Q的纵坐标为．∴函数的增量Δy=．∴割线PQ的斜率．∴Δx→0时,kPQ有极限为,这表明曲线y=在点P处有切线,且切线的斜率是,由点斜式可得切线方程为y－=(x－2),即x－4y+2=0．【点评】本题主要考查导数的几何意义．过曲线上一点P,若存在切线,则切线是过该点的割线PQ的极限位置,从而反映了事物之间量变到质变的辩证关系．【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1)，且在（2，－1）处的切线的斜率为1，求a，b，c的值．【分析】题中涉及三个未知数，而已知中有三个独立条件，故可通过解方程组来确定a，b，c．【解】∵y=ax2+bx+c分别过（1，1）点和（2，1）点∴a+b+c=1(1)4a+2b+c=－1(2)又y'=2ax+b∴y'|x=2=4a+b=1(3)由(1)(2)(3)可得，a=3，b=－11，c=9．【点评】函数的导数的几何意义决定了函数的导数知识与平面解析几何中直线的知识有着密切的联系．利用导数能解决许多曲线的切线的问题，使确定曲线在某处的切线斜率变得简单易求．【例3】已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且求直线的方程；【分析】主要考查导数的几何意义，两条直线垂直的性质.【解】y′=2x+1．直线l1的方程为y=3x－3．设直线l2过曲线y=x2+x－2上的点B（b,b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2因为l1⊥l2，则有2b+1=所以直线l2的方程为用心爱心专心116号编辑规律总结直线与曲线相切，不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，能够保证直线与曲线相切时只有一个公共点；当直线与曲线只有一个公共点时，不能保证两者相切．用心爱心专心116号编辑
