正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)教学目的:1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义;2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法教学重点:正、余弦函数的性质教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1.y=sinx,x∈R和y=cosx,x∈R的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=sinx-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=cosx2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是(0,1)(2,0)(,-1)(23,0)(2,1)3.定义域:正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R[或(-∞,+∞)],分别记作:y=sinx,x∈Ry=cosx,x∈R4.值域正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]其中正弦函数y=sinx,x∈R用心爱心专心1yxo1-122322①当且仅当x=2+2kπ,k∈Z时,取得最大值1②当且仅当x=-2+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1而余弦函数y=cosx,x∈R①当且仅当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值1②当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时,取得最小值-15.周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π6.奇偶性y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称7.单调性正弦函数在每一个闭区间[-2+2kπ,2+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2+2kπ,23+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1二、讲解范例:例1求函数y=sin21xπ的单调增区间误解:令u=21xπ y=sinu在[2kπ-2,2kπ+2](k∈Z)上递增∴2kπ-2≤21xπ≤2kπ+2解得-4k≤x≤-4k+2∴原函数的单调递增区间为[-4k,-4k+2](k∈Z)分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u=21xπ,忽视了u是x的减函数,未考虑复合后单调性的变化正解如下:用心爱心专心2解法一:令u=21xπ,则u是x的减函数又 y=sinu在[2kπ+2,2kπ+23](k∈Z)上为减函数,∴原函数在[2kπ+2,2kπ+23](k∈Z)上递增设2kπ+2≤21xπ≤2kπ+23解得-4k-2≤x≤-4k(k∈Z)∴原函数在[-4k-2,-4k](k∈Z)上单调递增解法二:将原函数变形为y=-sin21xπ因此只需求sin21xπ=y的减区间即可 u=21xπ为增函数∴只需求sinu的递减区间∴2kπ+2≤21xπ≤2kπ+23解之得:4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)∴原函数的单调递增区间为[4k+2,4k+4](k∈Z)一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1来求三角函数的最值例2a、b是不相等的正数求y=xbxaxbxa2222cossinsincos的最大值和最小值解:y是正值,故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)y2=acos2x+bsin2x+2xbxa22sincos·xbxa22cossin+asin2x+bcos2x=a+b+xbaab2sin)(422 a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1∴当sin2x=±1时,即x=22k(k∈Z)时,y有最大值)(2ba;当sinx=0时,即x=2k(k∈Z)时,y有最小值a+b二、利用三角函数的增减性用心爱心专心3如果f(x)在[α,β]上是增函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是减函数,则f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β)例3在0≤x≤2条件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有y=22cos1x-2sin2x-3·22cos1x=2(cos2x-sin2x)-1=22(cos2xcos4-sin2xsin4)-1=22cos(2x+4)-1 0≤x≤2,4≤2x+4≤45cos(2x+...