高中数学 第四章 正弦函数 余弦函数的图象和性质（4）教案VIP专享VIP免费

正弦函数、余弦函数的图象和性质（4）教学目的：1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=sinx-11yx-6-565-4-3-2-0432fx=cosx2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)(2,1)(,0)(23,-1)(2,0)余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是(0,1)(2,0)(,-1)(23,0)(2,1)3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y=sinx,x∈R用心爱心专心1yxo1-122322①当且仅当x＝2＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1②当且仅当x＝－2＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－15．周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π6．奇偶性y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称7．单调性正弦函数在每一个闭区间［－2＋2kπ，2＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2＋2kπ，23＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1二、讲解范例：例1求函数y＝sin21xπ的单调增区间误解：令ｕ＝21xπ y＝sinｕ在［2kπ－2，2kπ＋2］(k∈Z)上递增∴2kπ－2≤21xπ≤2kπ＋2解得－4k≤x≤－4k＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k，－4k＋2］(k∈Z)分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝21xπ，忽视了ｕ是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：用心爱心专心2解法一：令ｕ＝21xπ，则u是x的减函数又 y＝sinｕ在［2kπ＋2，2kπ＋23］(k∈Z)上为减函数，∴原函数在［2kπ＋2，2kπ＋23］(k∈Z)上递增设2kπ＋2≤21xπ≤2kπ＋23解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z)∴原函数在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上单调递增解法二：将原函数变形为y＝－sin21xπ因此只需求sin21xπ＝y的减区间即可 ｕ＝21xπ为增函数∴只需求sinｕ的递减区间∴2kπ＋2≤21xπ≤2kπ＋23解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)∴原函数的单调递增区间为［4k＋2，4k＋4］(k∈Z)一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1来求三角函数的最值例2a、b是不相等的正数求y＝xbxaxbxa2222cossinsincos的最大值和最小值解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达到最大(或最小)y2＝acos2x＋bsin2x＋2xbxa22sincos·xbxa22cossin＋asin2x＋bcos2x＝a＋b＋xbaab2sin)(422 a≠b，(a－b)2＞0，0≤sin22x≤1∴当sin2x＝±1时，即x＝22k(k∈Z)时，y有最大值)(2ba；当sinx＝0时，即x＝2k(k∈Z)时，y有最小值a＋b二、利用三角函数的增减性用心爱心专心3如果f(x)在［α，β］上是增函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(β)，最小值f(α)；如果f(x)在［α，β］上是减函数，则f(x)在［α，β］上有最大值f(α)，最小值f(β)例3在0≤x≤2条件下，求y＝cos2x－sinxcosx－3sin2x的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y＝22cos1x－2sin2x－3·22cos1x＝2(cos2x－sin2x)－1＝22(cos2xcos4－sin2xsin4)－1＝22cos(2x＋4)－1 0≤x≤2，4≤2x＋4≤45cos(2x＋...