高中数学 第四章 定积分 2 微积分基本定理教案（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教案VIP专享VIP免费

2微积分基本定理已知函数f(x)＝x，F(x)＝x2.问题1：f(x)和F(x)有何关系？提示：F′(x)＝f(x)．问题2：利用定积分的几何意义求xdx的值．提示：xdx＝.问题3：求F(2)－F(1)的值．提示：F(2)－F(1)＝×22－×12＝.问题4：你得出什么结论？提示：f(x)dx＝F(2)－F(1)，且F′(x)＝f(x)．问题5：由f(x)dx与F(2)－F(1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：f(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F′(x)＝f(x)．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F(x)是f(x)的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F(x)来表示F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．求简单函数的定积分[例1]计算下列各定积分：(1)(2x＋3)dx；(2)(cosx＋ex)dx；(3)dx.[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析](1) (x2＋3x)′＝2x＋3，∴(2x＋3)dx＝(x2＋3x)＝1＋3＝4.(2) (sinx＋ex)′＝cosx＋ex，∴(cosx＋ex)dx＝(sinx＋ex)＝1－e－π.(3) ′＝2x－，∴dx＝＝7＋＝.[一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1.dx＝________.解析：dx＝lne－ln1＝1.答案：12．求下列函数的定积分：(1)(x2＋2x＋3)dx；(2)(sinx－cosx)dx；(3)dx.解：(1)(x2＋2x＋3)dx＝x2dx＋2xdx＋3dx＝＋x2＋3x＝.(2)(sinx－cosx)dx＝sinxdx－cosxdx＝(－cosx)－sinx＝2.(3)dx＝xdx＋dx＝x2＋lnx＝×22－×12＋ln2－ln1＝＋ln2.3．求下列定积分：(1)sin2dx；(2)(2－x2)·(3－x)dx.解：(1)sin2＝，而′＝－cosx，∴sin2dx＝dx＝＝－＝.(2)原式＝(6－2x－3x2＋x3)dx＝＝－＝－.求分段函数的定积分[例2]已知函数f(x)＝先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨]按f(x)的分段标准，分成，，[2,4]三段积分求和．[精解详析]图像如图．f(x)dx＝sinxdx＋1dx＋(x－1)dx＝(－cosx)＋x＋＝1＋＋(4－0)＝7－.[一点通](1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f(x)＝则f(x)dx＝()A.B.C.D．不存在解析：选Cf(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx，取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，则F1′(x)＝x2，F2′(x)＝2－x，所以f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝－0＋2×2－×22－＝.5．已知F(x)＝求定积分F(x)dx.解：F(x)dx＝(sinx－1)dx＋x2dx＝(－cosx－x)＋x3＝cos1－.含参数的函数的定积分[例3]已知函数f(x)＝(at2＋bt＋1)dt为奇函数，且f(1)－f(－1)＝，试求a，b的值．[精解详析]f(x)＝(at2＋bt＋1)dt＝＝x3＋x2＋x. f(x)为奇函数，∴＝0，即b＝0.又 f(1)－f(－1)＝，∴＋1＋＋1＝.∴a＝－.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x时，定积分为x的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若(k－2x)dx＝2018，则k＝________.解析：(k－2x)dx＝(kx－x2)＝k－1＝2018，∴k＝2019.答案：20197．已知函数f(a)＝sinxdx，则f＝________.解析： f(a)＝sinxdx＝－cosx＝－cosa＋1，∴f＝1.答案：18．已知f(x)是一次函数，其图像过点(3,4)，且f(x)dx＝1，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则4＝3a＋b，又f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝＋b＝1，所以a＝，b＝，即f(x)＝x＋.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的...