5．7三角函数的应用考点学习目标学科素养三角函数模型的构建了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型数学抽象、数学建模三角函数模型在实际问题中的应用会用三角函数模型解决简单的实际问题数学建模、数学运算问题导学预习教材P242－P248，并思考以下问题：1．在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？2．解三角函数应用题有哪四步？1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义■名师点拨当A<0或ω<0时，应先用诱导公式将x的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ.如函数y＝－sin的初相不是φ＝－.2．三角函数模型的建立程序判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.()(2)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.()(3)“五点法”作函数y＝2sin在一个周期上的简图时，第一个点为.()答案：(1)×(2)×(3)×函数y＝2sin的周期、振幅依次是()A．4π，－2B．4π，2C．π，2D．π，－2答案：B1函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是()A．A＝3，T＝B．A＝3，T＝C．A＝，T＝D．A＝，T＝答案：D已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为()A．60B．70C．80D．90答案：C已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度为()A．5AB．2.5AC．2AD．－5A答案：B三角函数在物理中的应用已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．【解】(1)令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为.(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即所求最高点为；当h＝－3时，t的最小值为，即所求最低点为.利用三角函数处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为()A．2sB．1sC.sD.s解析：选C.由题意，知周期T＝＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为s.2.已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ).2(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t在任意一段s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解：(1)由题图知A＝300，周期T＝2＝，所以ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0，即sin＝0，而|φ|＜，所以φ＝.故所求的解析式为I＝300sin.(2)依题意，周期T≤，即≤，所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.三角函数在实际生活中的应用如图一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)求点P第一次到达最高点需要多长时间？【解】(1)如图，建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为＝，又水轮的半径为4m，圆心O距离水面2m，所以z＝4sin＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.故所求的函数表达式为z＝4sin＋2.(2)令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1.取t－＝，得t＝4.故点P第一次到达最高点需要4s.解三角函数应用问题的基本步骤下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温().月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.63月份789101112平均气温73.071.964.753.539.827.7以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．(1)描出散点图；(2)用正弦曲线去拟合这些数据；(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A；(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①＝cos；②＝cos；③＝cos；④＝sin.解：(1)(2)根据表中数据画出散点...
