数列求和一、教学目标：1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.二、教学重点：裂项相消法、错位相减法．三、教学难点：确定数列的通项公式选择相应的求和方法，错位相减法.四、教学过程：（一）考点知识点梳理1、数列求和的常用方法(1)裂项相消法形如的数列求和，其中是关于的一次函数.方法：裂项相消法，即把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.(2)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(3)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．辨析感悟(1)当n≥2时，＝－.(×)(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(×)(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(√)(4)(2014·南京调研改编)若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S50＝－25.(√)[感悟·提升]两个防范一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)．二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a需要分a＝0，a＝1，a≠1且a≠0三种情况求和，只有当a≠1且a≠0时可用错位相减法求和.（二）典例分析考点一裂项相消法求和【例1】求和：1【例2】(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．解(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知可得解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知＝＝，从而数列的前n项和为＝.规律方法使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．注意：对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什么？裂通项。练习：1、求和.2、（资料【训练2】）(2013·滨州一模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N*)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.解(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝，当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，所以an＝an－1(n≥2)．故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．故an＝·n－1＝2·n(n∈N*)．(2)因为1－Sn＝an＝n.所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1，因为＝＝－，所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋2解： 数列的通项公式为an=1(3n-1)(3n+2)=13(13n-1-13n+2)∴Sn=13(12-15+15-18+18-111+…+13n-4-13n-1+13n-1-13n+2)=13(12-13n+2)=16n+4＝－.考点二错位相减法求和【例3】(2013·湖南卷)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.(1)求a1，a2，并求{an}的通项公式；(2)求数列{nan}的前n项和．审题路线(1)令n＝1求a1⇒令n＝2求a2⇒利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)推导an与an－1的关系式⇒由an与an－1的递推式求an.(2)由(1)知数列{nan}⇒错位相减法求和⇒得出结论．解(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a.又因为a1≠0，所以a1＝1，从而Sn＝2an－1，令n＝2得2a2－1＝S2＝1＋a2.解得a2＝2.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1.于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．因此an＝2n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.从而Bn＝1＋(n－1)·2n.规律方法(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和...
