2.7.1点到直线的距离公式整体设计教学分析1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.三维目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.重点难点教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向1量方法在平面几何中的运用.推进新课新知探究提出问题图1①你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗?②平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？③你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?④你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生画出直线,点.如图2所示,M(x0,y0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量.设n=(a,b),因为n·v=(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0,所以n⊥v,故称n为直线l的法向量,与n同向的单位向量为n0=),(||2222babbaann.于是,点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量PM在n0方向上射影的长度:d=｜PM·n0｜=｜(x0-x,y0-y)·(|),2222babbaa.|)(||)()(|22002200babyaxbyaxbayybxxa又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(ax+by).②教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,...
