2．2.1向量的加法\s\up7()设计思想数学定义也是数学思维活动的结果，本节课设计思想是以物理学中“合位移”“合力”等概念为背景，引导学生亲历向量加法的建构过程，使学生体会数学抽象思维活动的基本方法．教学内容分析本节课教学内容包括向量加法法则的建构，向量加法运算律及运算，以及向量加法的简单应用．教学目标分析理解向量加法的意义，会用三角形法则和平行四边形法则求作已知两向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，会进行向量加法运算；通过体会、理解向量加法的定义过程对学生进行抽象思维训练，培养学生的创新意识和创造能力．\s\up7()1．情景设置从数学的角度看，向量也是量，数量可以进行运算，向量也必须建立相应的运算系统，才能作为解决实际问题的工具．呈现物理学中“合位移”和“合力”求法，提出问题：已知两个向量，我们是否可以类比“合位移”或“合力”求法，“生成”一个新的向量？探索讨论：已知向量a和b，按照求合位移的方式我们可以这样得到一个新向量：如图，作OA＝a，AB＝b，连结OB得到新向量OB；按照平行四边形求合力的方式我们又可以这样得到一个新向量：如图，作OA＝a，OB＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，得到新向量OC.当然，利用向量相等概念分析可知，两种方式得到的“新向量”是相等的，这是因为图1(2)中的AC＝OB＝b，也就说明由“平行四边形”法则得到的OC(见图1(2))与由“三角形”法则得到的向量OB(见图1(1))是相等的．(1)1(2)图12．向量加法定义我们把由上面的“三角形”法则或“平行四边形”法则得到的“新向量”定义为两个已知向量a与b的和，记作a＋b，求两向量和的运算叫做向量的加法．3．验证向量加法满足交换律、结合律利用向量加法定义和法则可以验证以下结论：a＋0＝0＋a＝a.a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.a＋b＝b＋a(加法交换律)(见图2(1))．(1)(2)图2(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(加法结合律)(见图2(2))．思考讨论：(1)A1A2＋A2A3＋…＋An－1An＋AnA1＝？(多个向量相加法则)(2)|a＋b|与|a|±|b|的大小关系．(数形结合)4．例题选讲(以学生活动为主)例1如图3，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：图3(1)OA＋OC；(2)BC＋FE；(3)OA＋FE.解：(1)因为四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，OB为其对角线，所以OA＋OC＝OB.(2)因为BC与FE方向相同且长度相等，所以BC与FE是相等向量，故BC＋FE与BC方向相同，2长度为BC长度的2倍，因此，BC＋FE可用AD表示．所以BC＋FE＝AD.(3)因为OA与FE是一对相反向量，所以OA＋FE＝0.例2在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？分析：如图4，渡船的实际速度AC、船速AD与水速AB应满足AB＋AD＝AC.图4解：如图4，设AB表示水流的速度，AD表示渡船的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB＋AD＝AC，所以四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5，|AD|＝25，所以∠CAD＝30°.答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.例3在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取两点E、F，使BE＝DF，用向量方法证明四边形AECF也是平行四边形.分析：要证四边形AECF是平行四边形，只需证AE＝FC.图5∵AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC，又四边形ABCD是平行四边形，BE＝DF，∴AB＝DC，BE＝FD，∴AE＝FC.小结(学生回答)：如何用向量方法证明四边形为平行四边形？5．练习与反馈(1)如图6，已知向量a、b，作出a＋b.(1)(2)图6(2)已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中正确的是()3A.AB＋CB＝ACB.AB＋AD＝ACC.AD＋CD≠BDD.AO＋CO＋OB＋OD≠0(3)在△ABC中，求证：AB＋BC＋AC≠0.(4)一质点从点A出发，先向北偏东30°方向运动了4cm，到达点B，再从点B向正西方向运动了3cm到达点C，又从点C向西南方向运动了4cm到达点D，试画出向量AB，BC，CD以及AB＋BC＋CD.6．课堂小结今天我们以求合位移和合力为背景定义了向量的加法，以后我们还会利用其他的实际背景和数学运算的内部结构定义多种向量的运算，本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，其要点则分别为“首尾相连”和“起点重合，作平行四边形”．4
