高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质讲义（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教案VIP免费

2.3.2抛物线的简单几何性质预习课本P60～63，思考并完成以下问题抛物线有哪些几何性质？抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下[点睛]抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系y2＝ax一次项为x项，x轴为对称轴a>0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右a<0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左x2＝ay一次项为y项，y轴为对称轴a>0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上a<0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴()(2)抛物线y＝－x2的准线方程是x＝()答案：(1)√(2)×2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为()A．2B．0C．2或0D．－2或2答案：B3．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A．8B．16C．32D．64答案：B4．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.答案：4抛物线方程及其几何性质[典例]已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．[解]设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.用待定系数法求抛物线方程的步骤[注意]求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．[活学活用]1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A．y2＝xB．y2＝－xC．y2＝±xD．y2＝±x解析：选C设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．又A(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.2．已知点M(x，y)在抛物线y2＝8x上，则f(x，y)＝x2－y2＋12x＋9的取值范围为________．解析：f(x，y)＝x2－8x＋12x＋9＝(x＋2)2＋5，又x∈[0，＋∞)，所以当x＝0时，f(x，y)取得最小值9.所以f(x，y)的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)焦点弦问题[典例]过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程．[解]由于抛物线的焦点F，故可设直线AB的方程为x＝my＋.由得y2－2pmy－p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2，∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x.(1)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①y1y2＝－p2，x1x2＝；②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；③S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；④＋＝；⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(2)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.[活学活用]1．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|＝()A．5B．6C．8D．10解析：选C由抛物线的定义知|P1P2|＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.2．已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p>0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由消去y，得2＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.直线与抛物线的位置关系[典例]若抛物线y2＝4x与...