高中数学 第二章 变化率与导数 4 导数的四则运算法则教案（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教案VIP免费

4导数的四则运算法则导数的加法与减法法则已知f(x)＝x，g(x)＝x2.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？提示：f′(x)＝1，g′(x)＝2x.问题2：试求Q(x)＝x＋x2的导数．提示：因Δy＝Δx＋2xΔx＋(Δx)2，＝1＋2x＋Δx，当Δx→0时，f′(x)＝1＋2x.问题3：Q(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数和．问题4：对于任意函数f(x)，g(x)都满足(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)吗？提示：满足．导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x).导数的乘法与除法法则已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2.问题1：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？提示：不成立，因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3.问题2：能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？提示：能．因f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，(f(x)g(x))′＝5x4，有(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．问题3：对于其他函数还满足上述关系吗？提示：满足．导数的乘法与除法法则(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．′＝.(2)[kf(x)]′＝kf′(x)．1．注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和；的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方．2．[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠.3．常数与函数乘积的导数，等于常数与函数的导数之积．利用导数的运算法则求导数[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x2＋log3x；(3)y＝x2·sinx；(4)y＝.[思路点拨]结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．[精解详析](1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5.(2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(3)y′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2x·sinx＋x2·cosx.(4)y′＝＝＝.[一点通]解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．1．下列求导运算中正确的是()A.′＝1＋B．(lgx)′＝C．(lnx)′＝xD．(x2cosx)′＝－2xsinx解析：选B′＝1－，故A错；(lnx)′＝，故C错；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错，故选B.2．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()A.B.C.D.解析：选Df′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝.3．求下列函数的导数．(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝lgx－；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．解：(1)y′＝(3x2＋xcosx)′＝(3x2)′＋(xcosx)′＝6x＋cosx－x·sinx.(2)y′＝′＝(lgx)′－′＝＋.(3) y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.导数与曲线的切线问题[例2]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．[精解详析](1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又 直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．[一点通](1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，然后根据其他条件列方程，求出切点，再求切线方程．4．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是()A．4B．5C．6D．7解析：选D由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′x=2＝7，...