三垂线定理练习课二教学目标1．进一步理解、巩固并应用三垂线定理及其逆定理；2．应用上一节课上所讲的两个基本题来解有关的综合题；3．通过解综合题提高学生解综合题的能力．教学重点和难点教学的重点是进一步掌握三垂线定理及其逆定理，并能灵活的应用它们来解有关的题．教学的难点是在空间图形中有许多平面时，如何选好“基准平面”和“第一垂线”．教学设计过程师：上一节我们应用三垂线定理及其逆定理讲了四个例题．其中大多是基本题．今天我们一方面要在应用这些基本题的基础上解有关的综合题；另外我们再来解其它的综合题来提高我们的解综合题的能力．现在看例1．例1如图1，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC，求证：△ABC是锐角三角形．师：这一题证法很多，所以我们要多想几种证法．用心爱心专心1所以∠BAC是锐角．同理可证∠ABC，∠ACB都是锐角．师：我们能不能直接用三垂线定理来证？生：由已知可得PA⊥平面PBC．在直角三角形PBC中，作PD⊥BC于D，因为∠PBC，∠PCB都是锐角，所以垂足D一定在斜边BC内部，连PD，则PD⊥BC（三垂线定理）．对于△ABC来说，因垂足D在BC边内部，所以∠ABC，∠ACB都是锐角，同理可证∠BAC也是锐角．师：能不能用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来证明△ABC为锐角三角形？生：因AP⊥平面PBC，所以∠ABP是线面角，相当于θ1，∠PBC相当于θ2，因θ1，θ2都是锐角．所以cosθ1＞0，cosθ2＞0，cosθ＝cosθ1·cosθ2＞0，所以θ为锐角。即∠ABC是锐角，同理可证∠BAC，∠ACB都是锐角．师：我们用了三种方法来证明△ABC是锐角三角形，现在我们换一个角度来研究这个基本图形另外一个性质．看例2．例2如图2，已知：PA⊥PB，PA⊥PC，PB⊥PC．PH⊥平面ABC于H．求证：H点是△ABC的垂心．师：垂心是三角形三边垂线（高线）的交点，要证H是△ABC的垂心，只要证AH⊥BC即可．生：因为PA⊥BP，PA⊥CP，所以PA⊥平面PBC．用心爱心专心2故PA⊥BC．对于平面ABC来说，PH是垂线，PA是斜线，AH是PA在平面ABC内的射线．因为PA⊥BC，所以AH⊥BC．同理可证BH⊥AC，CH⊥AB．故H是△ABC的垂心．师：由例2的演变可得例3，现在我们来看例3．例3如图3，△ABC中，∠BAC是锐角，PA⊥平面ABC于A，AO⊥平面PBC于O．求证：O不可能是△PBC的垂心．师：要证明O不可能是△PBC的垂心，用什么方法？生：用反证法．师：为什么想到用反证法？生：因为直接证不好证．师：对，因为直接来证不好利用条件，而用反证法，假设O是△PBC的垂心，则这样证明的思路就“活了”，就可利用已知条件，现在我们用反证法来证明．生：假设O是△PBC的垂心，则BO⊥PC．对平面PBC来说，AO是垂线，AB是斜线，BO是AB在平面PBC内的射影．因为BO⊥PC，所以AB⊥PC．用心爱心专心3又因为PA⊥平面ABC，PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，AB⊥AC，∠BAC是直角，与已知∠BAC是锐角相矛盾．所以假设不能成立，所以O不可能是△PBC的垂心．师：分析例3我们可以看出例3是由例2演变而来．也就是说在PA⊥AB，PA⊥ACO是△PBC的垂心条件下一定可以推导出AB⊥AC．是例2的逆命题再加以演变而得．现在我们来看例4．例4如图4，已知：∠AOB在平面α内，∠AOB＝60°，PO是平面α的一条斜线段，∠POA＝∠POB＝45°，PP′⊥平面α于P′，且PP′＝3．求：（1）PO与平面α所成的角的正弦；（2）PO的长．师：我们如何利用上节课所讲的两个基本题来解这题．生：因∠POA＝∠POB，所以OP′是∠AOB的平分线，∠POP′相当于θ1，θ2＝30°，θ＝45°，由cosθ1·cos30°＝cos用心爱心专心4师：在我们脑中如果“储存”许多基本题，那么在我们解有关综合题时，就能“得心应手”．所以在平时我们一定要注意对基本题的理解、掌握，解这题的思路就是一个典型．下面我们来看例5．（1）直线MN是异面直线A1B和B1D1的公垂线；（2）若这个正方体的棱长为a，求异面直线A1B和B1D1的距离．师：我们是在讲三垂线定理及其逆定理应用时讲这个例题的．所以我们想法用三垂线定理或它的逆定理来证明这一题．要用三垂线定理首先要确定对于哪一个平面来用三垂线定理．生：对于平面A1B1C1D1来用三垂线定理．师：这时MN是平面A1B1C1D1的斜线，我们如何作平面A1B1C1D1的垂线呢？生：作MP...
