3．2.1直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□方向向量)形式在直线l上取AB＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP＝□tAB作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点2．用向量表示平面的位置(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP＝□xa＋yb(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□a∥b⇔□a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔□a⊥u⇔□a·u＝0面面平行α∥β⇔□u∥v⇔□u＝kv(k∈R)线线垂直l⊥m⇔□a⊥b⇔□a·b＝0线面垂直l⊥α⇔□a∥u⇔□a＝λu(λ∈R)面面垂直α⊥β⇔□u⊥v⇔□u·v＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量AB都可作为该直线的方向向量．()(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．()(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．()(4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a＝(2，－4，－3)，b＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n＝(1，m，n)是α的一个法向量，那么m＝________，n＝________.(3)(教材改编P104T2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________.(4)已知直线l1，l2的方向向量分别是v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，则直线l1，l2的位置关系为________．答案(1)(2,4,6)(2)0(3)4(4)平行探究1点的位置向量与直线的方向向量例1(1)若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A.B.C.D.(2)已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0,3,5)，B(2,2,0)，C(0,5,0)，直线BD∥CA，并且与坐标平面xOz相交于点D，求点D的坐标．[解析](1)AB＝－＝(1,2,3)，＝(1,2,3)＝AB，又因为与AB共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D的坐标为(x,0，z)，则BD＝(x－2，－2，z)，CA＝(0，－2,5)． BD∥CA，∴∴∴点D的坐标为(2,0,5)．[答案](1)A(2)见解析拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，在直线AB上有一点Q，使得AQ＝－2QB，求点Q的坐标．解由题设AQ＝－2QB，设Q(x，y，z)，则(x－2，y－4，z)＝－2(1－x,3－y,3－z)，∴解得探究2求平面的法向量例2如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA的法向量．[解] AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，分别以AD，AB，AS的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，AD＝是平面SAB的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，则n·DC＝(1，λ，u)·＝＋λ＝0，∴λ＝－.n·DS＝(1，λ，u)·＝－＋u＝0，∴u＝，∴n＝.综上，平面SCD的一个方向向量为n＝，平面SBA的一个法向量为AD＝.拓展提升设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中k∈R，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n＝(x，y，z)．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．③依据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．...
