第三章数系的扩充和复数的引入知识系统整合规律方法收藏1．待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设z＝a＋bi(a，b∈R)，建立a，b的关系式，然后求解问题．2．解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，有时会导致计算量过大．运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计算过程．3．复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据．4．复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考查的对象之一．求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解；(3)利用几何法求解．5．求复平面上的点的轨迹问题通常有两种途径：一是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据条件转化为关于x与y的方程，从而得出所求轨迹．二是结合“基本轨迹方程”，充分考虑复数的整体性，运用条件及有关性质，探求轨迹上的点所对应的复数所具有的特征及满足的方程(代入法是求轨迹时常用的思想方法)．学科思想培优一、复数的基本概念例1(1)设z是复数，则下列命题中的假命题是()1A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0(2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(3)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．[解析](1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，则即b＝0，故z是实数，A正确．若z2<0，则即故B正确．若z是虚数，则b≠0，z2＝a2－b2＋2abi无法与0比较大小，故C是假命题．若z是纯虚数，则z2＝－b2<0，故D正确．(2)a－＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，其为纯虚数得a＝3.(3)复数z＝(5＋2i)2＝21＋20i，其实部是21.[答案](1)C(2)D(3)21拓展提升复数的分类是高考中的命题方向，要弄清复数类型的充要条件，若复数a＋bi是实数，则b＝0，若复数a＋bi是纯虚数，则a＝0且b≠0，若复数a＋bi为零，则a＝0，且b＝0，若复数a＋bi是虚数，则b≠0.解题时，注意先要对复数进行化简运算，再根据其类型得出相应的代数式，从而得出问题的答案．二、复数的四则运算例2计算：(1)；(2).[解](1)原式＝＝＝i.(2)原式＝＝＝＝＝＝－1＋i.拓展提升复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式．三、复数的几何意义例3已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，所以y＝－2.因为＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i，且为实数，所以x＝4，所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件，可知解得2
