导数与函数的单调性（三）一、教学目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法二、教学重难点：利用导数判断函数单调性.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：1.函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.2.导数的概念及其四则运算3、定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数4、用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间.（二）、探究新课例1、确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x，令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例3、证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=21122111xxxxxx∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞01∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴2112xxxx＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证)∵f′(x)=(x1)′=(－1)·x－2=－21x，x＞0，∴x2＞0，∴－21x＜0.∴f′(x)＜0，∴f(x)=21x在(0，+∞)上是减函数.例4、求函数y=x2(1－x)3的单调区间.解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜52.∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，52)令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞52且x≠1.∵1x为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(52，+∞)例5、已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以'()0fx对1,1x恒成立，即220xax对1,1x恒成立，解之得：11a；所以实数a的取值范围为1,1．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：2即“若函数单调递增，则'()0fx；若函数单调递减，则'()0fx”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．（三）、小结：本节课学习了利用导数判断函数单调性.（四）、课堂练习：第62页练习4（五）、课后作业：1、求证：函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数．证明：因为'22661262612yxxxxxx当2,1x即21x时，'0y，所以函数3223121yxxx在区间2,1内是减函数．2、已知函数232()4()3fxxaxxxR在区间1,1上是增函数，求实数a的取值范围．解：'2()422fxaxx，因为fx在区间1,1上是增函数，所以'()0fx对1,1x恒成立，即220xax对1,1x恒成立，解之得：11a所以实数a的取值范围为1,1。五、教后反思：3
