2．1实际问题中导数的意义导数在物理学中的应用[例1]物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝gt2.(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8m/s2)(1)计算当t从2s变到4s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t＝2s时的瞬时速度，并解释它的意义．[思路点拨](1)平均变化率为位移的变化量与相应的时间变化量的比值．(2)瞬时速度为时间变化量趋于0时的平均变化率，或由导数的意义得t＝2s时的瞬时速度，即s(t)在t＝2时的导数值．[精解详析](1)当t从2s变到4s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为＝＝9.8×3＝29.4(m/s)．它表示物体从2s到4s这段时间平均每秒下落29.4m.(2) s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)．它表示物体在t＝2s时的速度为19.6m/s.[一点通](1)函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)就是导函数在x0处的函数值；(2)瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)；(3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．1．某一做直线运动的物体，其位移s(m)与时间t(s)的关系是s＝3t－t2，求s′(0)并解释它的实际意义．解： s′＝3－2t，∴s′(0)＝3，它表示物体开始运动时的速度，即初速度是3m/s.2．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源Ax米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)＝＋，其单位为：勒克斯．(1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？(2)求I′(5)并解释它的实际意义．解：(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为＝＝＝0.005(勒克斯/米)，它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯．(2) I(x)＝＋，∴I′(x)＝8·(－2·x－3)＋＝－＋.∴I′(5)＝－＋＝－＝－0.112(勒克斯/米)．它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米．导数在日常生活中的应用[例2]东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7000x＋600.(1)求产量为1000台的总利润与平均利润；(2)求产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量；(3)求c′(1000)与c′(1500)，并说明它们的实际意义．[思路点拨](1)平均利润指平均每台所得利润；(2)总利润的平均改变量指c(x)的平均变化率；(3)c′(x0)表示产量为x0台时，每多生产一台多获得的利润．[精解详析](1)产量为1000台时的总利润为c(1000)＝－2×10002＋7000×1000＋600＝5000600(元)，平均利润为＝5000.6(元)．(2)当产量由1000台提高到1500台时，总利润的平均改变量为＝＝2000(元)．(3) c′(x)＝(－2x2＋7000x＋600)′＝－4x＋7000，∴c′(1000)＝－4×1000＋7000＝3000(元)．c′(1500)＝－4×1500＋7000＝1000(元)．c′(1000)＝3000表示当产量为1000台时，每多生产一台机械可多获利3000元．c′(1500)＝1000表示当产量为1500台时，每多生产一台机械可多获利1000元．[一点通]实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．3．某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2000＋450q＋0.02q2.(1)写出收入函数；(2)写出利润函数；(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义．解：设收入函数为R(q)，利润函数为L(q)．(1)收入函数为：R(q)＝490q.(2)利润函数为：L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2000＋450q＋0.02q2)＝－2000＋40q－0.02q2.(3)利润函数的导数为：L′(q)＝(－2000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q.利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量．4．某考生在参加2014年高考数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2.(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率；(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．解：(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为：＝＝.它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完...
