高中数学 第三章 导数应用 2 2.2 最大值、最小值问题教案（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学教案VIP免费

2．2最大值、最小值问题1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．1．最值点(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．2．最值函数的最大值与最小值统称为最值．(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．求函数的最值[例1](1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝x＋sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[思路点拨]先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值．[精解详析](1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1.因为f＝，f(1)＝，f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)因为f(x)＝x＋sinx，所以f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝.因为f(0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π，所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.[一点通]求函数最值的4个步骤[注意]求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．1．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0，∴函数f(x)在区间[－1,1]上单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6.答案：－62．求函数f(x)＝sin2x－x在上的最大值和最小值．解：f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，x∈，解得x＝－或x＝.而f＝－，f＝－，f＝，f＝－，所以函数f(x)的最大值为，最小值为－.3．已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值．解：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， f(x)＝＋lnx＝－1＋lnx，∴f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)在上的变化情况如下表：x1(1,2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln20－＋ln2∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.又f＝1－ln2，f(2)＝－＋ln2，∴f－f(2)＝－2ln2＝×(3－4ln2)＝ln>0，∴f>f(2)，∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.已知函数的最值求参数的值[例2]已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．[思路点拨]利用导数求出f(x)的最值(用a，b表示)，列方程求a，b的值．[精解详析]显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋b最大值－16a＋b∴当x＝0时，f(x)取得最大值．∴b＝3.又 f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，即a＝2.②当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)－0＋f(x)－7a＋b最小值－16a＋b∴当x＝0时，f(x)取得最小值．∴b＝－29.又 f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)>f(－1)，∴当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，即a＝－2.综上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.[一点通]由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值...