高中数学选修2-3：第一章《“杨辉三角”与二项式系数的性质》教案3例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意,解得.①的展开式中第6项的二项式系数最大,即.②设第项的系数的绝对值最大,则∴,得,即∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项奎屯王新敞新疆例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项奎屯王新敞新疆解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，∴，．（1） ，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，，（2）设展开式中第项系数最大，则，∴，∴，即展开式中第项系数最大，．例11．已知，求证：当为偶数时，能被整除奎屯王新敞新疆1分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式奎屯王新敞新疆 ，∴， 为偶数，∴设（），∴（），当=时，显然能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除奎屯王新敞新疆三、课堂练习：1．展开式中的系数为，各项系数之和为．2．多项式（）的展开式中，的系数为3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（）A.4B.5C.6D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（）A.0B.C.D.6．求和：．7．求证：当且时，．8．求的展开式中系数最大的项奎屯王新敞新疆答案：1.45,02.0．提示：奎屯王新敞新疆23.B4.C5.D6.7.(略)8.四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而展开式的系数的最大的项等于，求的值奎屯王新敞新疆答案：2．设求：①②．答案：①；②奎屯王新敞新疆3．求值：．答案：奎屯王新敞新疆4．设，试求的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和奎屯王新敞新疆答案：（1）；（2）所有偶次项的系数和为；所有奇次项的系数和为奎屯王新敞新疆七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+34a3b+6a2b2+4ab3+b4.对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1)项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=现在的问题就是要找的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算奎屯王新敞新疆1．（2007年江苏卷）若对于任意实数...
