高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法教案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案VIP专享VIP免费

第1课时函数的表示法[目标]1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点]函数解析式的求法及函数图象的画法．[难点]求函数解析式的两种通法．知识点函数的表示法[填一填]函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．[答一答]1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．2．函数的三种表示方法各有什么优点？提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：类型一列表法表示函数[例1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.[分析]这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．[答案]11[解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)．由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.[变式训练1](1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3.(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)131x123g(x)321则g(f(2))＝1；f(g(2))＝3.解析： f(2)＝3，g(2)＝2，∴g(f(2))＝g(3)＝1，f(g(2))＝f(2)＝3.类型二图象法表示函数[例2]作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[分析]⇒⇒⇒观察,图象.[解](1)列表：x012y12345当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)列表：x2345…y1…当x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表：x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数图象应注意：1在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.[变式训练2]作出下列函数图象，并求其值域：(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5.因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．由图象可知，y∈[－5,3)．类型三解析法表示函数[例3]求函数的解析式．(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式；(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；(3)已知2f＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．[解](1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)．则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.所以解得k＝3，b＝1，或k＝－3，b＝－2.所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.(2)法1：(配凑法)因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)．所以f(x)＝x2－1(x≥1)．法2：(换元法)令＋1＝t(t≥1)．则x＝(t－1)2(t≥1)．所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)f(x)＋2f＝x，令x＝，得f＋2f(x)＝.于是得关于f(x)与f的方程组解得f(x)＝－(x≠0)．求函数解析式的方法：...