高中数学 第一章 常用逻辑术语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题讲义 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案VIP专享VIP免费

1．1.1命题命题(1)定义：□用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．(2)分类(3)在数学中，命题常写成“□若p，则q”的形式．通常，我们把这种形式的命题中的p叫做□命题的条件，q叫做□命题的结论．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)语句“陈述句都是命题”不是命题．()(2)一个命题要么是真命题，要么是假命题，二者必居其一．()(3)命题“平行四边形的对角线互相平分”可以改写为“若p，则q”形式的命题．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)(教材改编P2例1)下列语句中，是命题的是()A．3比5大B．太阳和月亮C．高年级的学生D．x2＋y2＝0(2)下列语句是命题的是________，其中是真命题的是________(只填序号)．①lg0.01＝－2；②函数y＝2x＋1是一次函数；③若a＋b为偶数，则a，b分别为偶数；④好人一生平安！(3)若a与b是无理数，则ab是无理数，其中该命题的条件是________________________，结论是____________________．答案(1)A(2)①②③①②(3)a与b是无理数ab是无理数解析(1)3比5大是一个假命题．B，C，D都不能判断真假．探究1命题的判断例1判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)是有理数；(2)3x2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)x2－x＋7>0.[解](1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)因为x2－x＋7＝2＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题．拓展提升判断一个语句是否是命题的三个关键点(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．(2)含义模糊不清，无法判断真假的陈述句不是命题．(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．【跟踪训练1】判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解(1)是陈述句，能判断真假，是命题．(2)是陈述句，能判断真假，是命题．(3)不是陈述句，不是命题．(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题．探究2命题的结构形式及真假判断例2把下列命题改写成“若p，则q”的形式，判断命题的真假，并说明理由．(1)当a2>b2时，a>b；(2)在△ABC中，当A>60°时，必有sinA>；(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝1相切．[解](1)若a2>b2，则a>b，是假命题．例如，当a＝－3，b＝1时，a2>b2，但a>b不成立．(2)在△ABC中，若A>60°，则sinA>，是假命题．例如，当A＝150°时，A>60°，但sinA＝，不满足sinA>.(3)若两个向量相等，则它们一定是共线向量，是真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．(4)若直线方程为y＝x，圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，则直线与圆相切，是假命题．圆心(1，－1)到直线y＝x的距离为d＝>1，所以直线与圆相离．[条件探究]如果把例2(2)中“60°”改为“B”，“”改为“sinB”，怎样解答呢？提示用正弦定理和大角对大边，判断命题的真假．解在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB.真命题．理由如下：因为A>B，所以a>b，由正弦定理得2RsinA>2RsinB，(其中R是△ABC外接圆的半径)，所以sinA>sinB.拓展提升1.命题改写的相关策略(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法，例如命题“在△ABC中，若a>b，则A>B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．2．判断命题真假的方法(1)反例法：通过构造反例否定一个命题的正确性，是判定一个命题为假命题的常用方法．(2)直推法：由条件出发，运用相关的定义、性质、定理等，通过逻辑推理来推断命题的真假性，是判定一个命题为真命题的常用方法．【跟踪训练2】把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．...