高中数学 第一章 常用逻辑术语 1.4 全称量词与存在量词 1.4.3 含有一个量词的命题的否定讲义 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学教案VIP免费

1．4.3含有一个量词的命题的否定1．含有一个量词的全称命题的否定全称命题p綈p结论∀x∈M，p(x)□∃x0∈M，綈p(x0)全称命题的否定是□特称命题2．含有一个量词的特称命题的否定特称命题p綈p结论∃x0∈M，p(x0)□∀x∈M，綈p(x)特称命题的否定是□全称命题1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．()(2)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()(3)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“至多有一个”的否定为_______________________________________．(2)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则綈p是_____________________________．(3)命题“∃x0∈Q，x＝5”的否定是________(填“真”或“假”)命题．(4)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为________．答案(1)至少有两个(2)∃x0∈R，sinx0>1(3)真(4)∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1探究1全称命题的否定例1判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)p：∀x∈，sinx＋≥2；(2)p：∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx是偶函数；(3)p：每个三角形至少有两个锐角．[解](1)p是真命题，由x∈得sinx∈(0,1)，sinx＋>2＝2，故p为真命题．綈p：∃x0∈，sinx0＋<2.(2)p是假命题，当m＝0时，f(x)才是偶函数．綈p：∃m0∈R，函数f(x)＝x2＋m0x不是偶函数．(3)p是真命题．綈p：有的三角形至多有一个锐角．拓展提升1.对全称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．2．全称命题否定后的真假判断方法全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．【跟踪训练1】写出下列全称命题的否定，并判断真假．(1)p：正方形是矩形；(2)p：∀α∈R，都有cos＝sinα.解(1)綈p：存在一个正方形不是矩形，这是假命题．(2)綈p：∃α0∈R，使得cos≠sinα0，这是假命题．探究2特称命题的否定例2判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)p：有一个奇数不能被3整除；(2)p：有些三角形的三个内角都是60°；(3)p：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.[解](1)p是真命题，如5不能被3整除．綈p：任意一个奇数都能被3整除．(2)p是真命题，等边三角形的三个内角都为60°.綈p：任意三角形的三个内角不都为60°.(3)p是真命题， 当α＝，β＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.綈p：∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ.拓展提升1.对特称命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．2．特称命题否定后的真假判断特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可．【跟踪训练2】写出下列特称命题的否定，并判断真假．(1)p：有的一元二次方程有实数根；(2)p：∃x0∈R，sin＝sinx0.解(1)綈p：所有的一元二次方程都没有实数根，这是假命题．(2)綈p：∀x∈R，sin≠sinx，这是假命题，如sin＝sin.探究3含有一个量词的命题的否定例3写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x0，使得x＋x0＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．[解](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是綈p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．注意到当Δ＝1＋4m<0时，即m<－时，一元二次方程没有实数根，所以綈p是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.由x2＋x＋1＝2＋>0知，綈q是真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r：存在二个等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知綈r是假命题．拓展提升分清所给命题是全称命题还是特称命题是正确写出其否定的关键，同时要熟悉常用量词的否定形式．【跟踪训练3】写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x>1，log2x>0；(2)p：直线l⊥平面α，则对任意l...