8．5一元线性回归案例[读教材·填要点]1．相关系数(1)定义：样本容量是n的成对观测数据，用(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示，用表示数据x1，x2，…，xn，用表示数据y1，y2，…，yn，用与分别表示和的均值，用sx表示的标准差，用sy表示的标准差，再引入：sxy＝－.当sxsy≠0时，称rxy＝＝＝为和的相关系数．①当rxy>0时，我们称和正相关；②当rxy<0时，我们称和负相关；③当rxy＝0时，我们称和不相关．(2)性质：①rxy总在区间[－1,1]中取值；②当rxy越接近于1时，x，y的线性相关程度越强，且x增加，y也倾向于增加，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条上升的直线附近．③当rxy越接近于－1时，x，y的线性相关程度越强，且x增加，y倾向于减少，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条下降的直线附近．④当rxy越接近于0时，x，y的线性相关程度越弱．2．一元线性回归(1)回归直线方程：l：y＝bx＋a，其中b＝，a＝－b.(2)一元线性回归模型：若样本量n的成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中yi和xi满足关系：yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n，)，其中e1，e2，…，en表示随机误差，则称该模型为一元线性回归模型．[小问题·大思维]1．|rxy|越接近1，及越接近于0，表示两个变量x与y之间线性相关程度如何？提示：|rxy|越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，它们的散点图越接近于一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好；|rxy|越接近0，表明两个变量的线性相关程度越弱，通常|rxy|>0.8时，认为有很强的相关关系．2．在一元线性回归模型中，变量y由变量x唯一确定吗？提示：不唯一．y值由x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化．3．随机误差e产生的主要原因有哪些？提示：随机误差e产生的主要原因有：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差．4．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：不一定是真实值．利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响如饮食，是否喜欢运动等．线性回归方程[例1]某班5名学生的数学和物理成绩如下表：学生学科ABCDE数学成绩(x)8876736663物理成绩(y)7865716461(1)画出散点图；(2)求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．[解](1)散点图如图．(2)＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054.＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以b＝＝≈0.625.a＝y－bx≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y对x的回归直线方程是y＝22.05＋0.625x.(3)x＝96，则y＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82.1．回归直线方程中系数的两种求法(1)公式法：利用公式，求出回归系数b，a.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(x，y)求系数．2．回归分析的两种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b.1．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝y－bx，其中x，y为样本平均值．解：(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，y＝i＝＝2.又－nx2＝720－10×82＝80，iyi－nxy＝184－10×8×2＝24，由此可得b＝＝＝0.3，a＝y－bx＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．相关系数[例2]关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x21232527293235y711212466115325试判断x...
