高中数学 第8章 统计与概率 8.2 概率 8.2.7 离散型随机变量的方差讲义（含解析）湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数学教案VIP免费

8．2.7离散型随机变量的方差[读教材·填要点]1．离散型随机变量X的方差与标准差(1)当离散型随机变量X有概率分布，pj＝P(X＝xj)，j＝0,1，…，n和数学期望μ＝E(X)时，就称D(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为X的方差，称为X的标准差．(2)X的方差描述了随机变量X向它的数学期望集中的程度，方差越小，X向数学期望μ集中的越好．(3)如果X是从某个总体中通过随机抽样得到的个体，X的方差D(X)就是总体方差σ2，X的数学期望E(X)就是总体均值μ.2．几个常见方差的计算公式(1)若Y＝aX＋b，a，b为常数，即D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)当X服从二点分布(1，p)时，D(X)＝p(1－p)；(3)当X服从二项分布B(n，p)时，D(X)＝np(1－p)；(4)当X服从超几何分布H(N，M，n)时，D(X)＝.[小问题·大思维]1．离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？提示：样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量．2．D(X)的取值范围是什么？若b为常数，则D(b)为何值？提示：①因为D(X)＝(xi－E(X))2pi，其中(xi－E(X))2≥0，pi≥0，所以D(X)的取值范围为[0，＋∞)．②因为b为常数，所以x1＝x2＝…＝xn＝E(X)＝b，故D(b)＝0.3．D(X)与X的单位之间有什么关系？提示：D(X)的单位是X的单位的平方．求离散型随机变量的方差[例1](1)设随机变量X的分布列为()X1234P则D(X)等于()A.B.C.D.(2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.①求这位司机遇到红灯数X的期望与方差；②若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的期望与方差．[解析](1)选C由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，故D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.(2)解：①易知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B，∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝.②由已知Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1200.由离散型随机变量的概率分布求其方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．但需要注意，如果能利用性质运算，先考虑性质运算，可避免繁琐的运算，提高解题效率．1．某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________．解析：依题意知X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.答案：0.162．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．解：设摸得白球的个数为X，依题意得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝.离散型随机变量方差的性质[例2](1)已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，D(η)分别是()A．6,2.4B．2,2.4C．2,5.6D．6,5.6(2)已知X是离散型随机变量，P(X＝1)＝，P(X＝a)＝，E(X)＝，则D(2X－1)＝()A.B．－C.D.[解析](1) X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.(2)由题意，知1×＋a×＝，解得a＝2，∴D(X)＝2×＋2×＝，∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝.[答案](1)B(2)D求随机变量函数Y＝aX＋b方差的方法求随机变量函数Y＝aX＋b的方差，一种是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．3．已知η的分布列为η010205060P(1)求η的方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．解：(1) E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，＝8.(2) Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1536.方差的实际应用[例3]甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X、Y，X和Y的概率分布如下表：X012PY012P试对这两名工人的技术水平进行比较．[解]工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：E(Y)＝0×＋1×...