高中数学 第8章 统计与概率 8.2 概率 8.2.6 离散型随机变量的数学期望讲义（含解析）湘教版选修2-3-湘教版高二选修2-3数学教案VIP免费

8．2.6离散型随机变量的数学期望[读教材·填要点]1．离散型随机变量X的数学期望当离散型随机变量X有概率分布pi＝P(X＝xj)，j＝0,1，…，n，就称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的数学期望或均值．如果X是从某个总体中随机抽取的个体，X的数学期望E(X)就是总体均值μ.2．数学期望的有关公式(1)若Y＝aX＋b，a，b为常数，则E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)当X服从两点分布B(1，p)时，E(X)＝p；(3)当X服从二项分布B(n，p)时，E(X)＝np；(4)当X服从超几何分布H(N，M，n)时，E(X)＝n.[小问题·大思维]1．随机变量X的均值E(X)是一个常数还是一个变量？提示：随机变量X是可变的，可以取不同的值，而数学期望(或均值)是不变的，它描述X取值的平均水平，由X的分布列唯一确定．2．若c为常数，则E(c)为何值？提示：由离散型随机变量的均值的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b可知，若a＝0，则E(b)＝b，即若c为常数，则E(c)＝c.3．E(X)与X的单位是否一致？提示：E(X)表示随机变量X的平均值，因此E(X)与X的单位是一致的．离散型随机变量的数学期望[例1]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(1)顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；[解]设顾客所获的奖励额为X.(1)依题意，得P(X＝60)＝＝，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.(2)依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X＝60)＝，P(X＝20)＝＝，即X的分布列为X2060P所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)＝20×＋60×＝40(元)．解决此类问题的一般步骤为：①明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；②求出随机变量取各个值的概率；③列出概率分布；④利用均值公式进行计算．1．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.综上知，X的分布列为X012P故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.2．某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求一次投篮时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布为：X01P0.40.6则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.均值性质的应用[例2]已知随机变量X的概率分布为：X－2－1012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．[解](1)由随机变量概率分布的性质，＋＋＋m＋＝1，解得m＝.(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.(3)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.法二：由于Y＝2X－3，所以Y的概率分布为：Y－7－5－3－11P所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.保持例题条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－，求a的值．解：E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，∴a＝15.求均值的关键是求出概率分布，只要求出随机变量的概率分布，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的概率分布，再用定义求解．3．随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的数学期望E(X)＝3，求E(aX＋b)的值．解：由已知得(a×1＋b)＋(a×2＋b)＋(a×3＋b)＋(a×4＋b)＝1，即10a＋4b＝1.①又E(X)＝3，故(a＋b)×1＋(2a＋b)×2＋(3a＋b)×3＋(4a＋b)×4＝3，即30a＋10b＝3.②联立①，②，解得b＝0，a＝，∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝E(X)＝×3＝0.3.离散型随机变量的均值的实际应用[例3]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为X12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；...