8．2.3事件的独立性[读教材·填要点]1．事件A，B独立用Ω1表示第一个试验的全集，用Ω2表示第二个试验的全集，如果这两个试验是独立的，就称全集Ω1和Ω2独立．当事件的全集Ω1和Ω2独立，对于A⊆Ω1和B⊆Ω2，有P(A∩B)＝P(A)P(B)．2．事件A1，A2，A3，…，An相互独立对于j＝1,2，…，n，用Ωj表示第j个试验的全集，如果这n个试验是相互独立的，就称这些试验的全集Ω1，Ω2，…，Ωn是相互独立的．如果试验的全集Ω1，Ω2，…，Ωn是相互独立的，则对A1⊆Ω1，A2⊆Ω2，…，An⊆Ωn，有P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．[小问题·大思维]1．两个事件相互独立与互斥有什么区别？提示：两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．2．公式P(A∩B)＝P(A)P(B)使用的前提条件是什么？提示：P(A∩B)＝P(A)P(B)使用的前提条件是事件A与事件B相互独立，同样的，只有当A1，A2，…，An相互独立时，这几个事件同时发生的概率才等于每个事件发生的概率之积，即P(A1∩A2∩An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．事件独立性的判断[例1]判断下列事件是否为相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．1．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？解：由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑他们是否互为独立事件：抽到老K的概率为P(A)＝＝，抽到红牌的概率P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，事件A∩B即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红老K或方块老K”，故P(A∩B)＝＝，从而有P(A)·P(B)＝P(A∩B)，因此A与B互为独立事件．相互独立事件同时发生的概率[例2]一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．[解]记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A、B、C都是相互独立事件．(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝·＝·＝.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.2．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i个...
