6.1.4求导法则及其应用学习目标核心素养1.熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点)2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点)3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)1.通过学习导数的四则运算法则，培养数学运算素养．2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑推理、数学抽象素养.如何求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝2x2＋sinx.问题：由此你能类比联想一下[f(x)＋g(x)]′的求导法则吗？1．导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)积的导数①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；②[Cf(x)]′＝Cf′(x)．(3)商的导数′＝，g(x)≠0.拓展：①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．②[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)．2．复合函数的概念及求导法则(1)复合函数的概念一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x的任意一个值，就能确定u的值．如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数，其中u称为中间变量．(2)一般地，如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则可以证明，复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝f′(g(x))g′(x)．这一结论也可以表示为y′x＝y′uu′x.思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)＝是复合函数．()(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos(－x)．()(3)y＝e2x的导数y′＝2e2x.()(4)[f(x)g(x)h(x)]′＝f′(x)g′(x)h′(x)．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．函数f(x)＝xex的导数f′(x)＝()A．ex(x＋1)B．1＋exC．x(1＋ex)D．ex(x－1)A[f′(x)＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，选A.]3．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a＝________.1[ f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，故f′(1)＝2a＝2，∴a＝1.]4．若y＝，则y′＝________.[ y＝lnx，∴y′＝·＝.]导数四则运算法则的应用【例1】求下列函数的导数．(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝；(4)y＝x2－sincos.[解](1)y′＝2x－2x－3.(2)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝.(4) y＝x2－sincos＝x2－sinx，∴y′＝2x－cosx.1．解答此类问题时要熟练掌握导数的四则运算法则．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[跟进训练]1．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)＝________.3[因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，∴f′(0)＝3.]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(其中e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.－[因为f(x)＝2xf′(e)＋lnx，所以f′(x)＝2f′(e)＋.∴f′(e)＝2f′(e)＋，即f′(e)＝－.]复合函数的导数【例2】求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.[思路点拨]先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导．[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.1．解答此类问题常犯的两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数...
