6.1导数6.1.1函数的平均变化率学习目标核心素养1.理解函数平均变化率的概念．(重点)2．会求函数的平均变化率．(难点、易混点)3．会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．(难点)1.通过函数平均变化率的学习，培养数学抽象素养．2．借助函数平均变化率的计算，提升数学运算素养.某人走路的第1秒和第45秒的位移如图所示：问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？问题2：AB段与BC段哪一段的速度较快？1．函数的平均变化率一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则(1)自变量的改变量Δx＝x2－x1；(2)因变量的改变量Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))；思考：在平均变化率中，Δx，Δy，是否可以为0？当平均变化率为0时，是否说明函数在该区间上一定为常函数？[提示]在平均变化率中，Δx可正可负但Δx不可以为0；Δy可以为0；可以为0.当＝0时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率是0，但它不是常函数．拓展：函数平均变化率的几何意义如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝＝.2．平均速度与平均变化率如果物体运动的位移xm与时间ts的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t12>1[ 1＝＝kMA，2＝＝kAB，3＝＝kBC，由图像可知：kMA2>1.]求函数的平均变化率【例1】求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[解] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，平均变化率为4×1＋2×＝5.求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是：[跟进训练]1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝()A．－3B．2C．3D．－2C[根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3.]2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2C[ Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－4]－(－2)＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝＝4＋2Δx.]求物体运动的平均变化率【例2】跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(1)求运动员在这段时间内的平均速度；(2)运动员在这段时间内是静止的吗？(3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？[解](1)v＝＝＝0(m/s)，即运动员在这段时间内的平均速度是0m/s.(2)运动员在这段时间里显然不是静止的．(3)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时．1．平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值．2．运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0，t1]上的平均变化率，因此求平均速度的实...
