第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1.理解等差中项的概念．(重点)2．掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点)3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)1.借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养．2．通过等差数列性质的学习，培养数学运算的素养.高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100这道题目的？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？1．等差中项如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A＝.在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项．思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？[提示]是．2．等差数列的性质{an}是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p，q满足s＋t＝p＋q，则as＋at＝ap＋aq.①特别地，当p＋q＝2s(p，q，s∈N＋)时，ap＋aq＝2as.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….思考2：在等差数列{an}中，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)成立吗？2an＝an＋k＋an－k(n>k>0)是否成立？[提示]令s＝t＝n，p＝n＋1，q＝n－1，可知2an＝an＋1＋an－1成立；令s＝t＝n，p＝n＋k，q＝n－k，可知2an＝an＋k＋an－k也成立．拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(2)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列．(3)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(4){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.()(2)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6，…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3，a4，…是等差数列．()(3)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列．()(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．在等差数列{an}中，若a3＝5，a5＝7，则a7＝()A．－1B．9C．1D．6B[由题意可知a3＋a7＝2a5，∴a7＝2a5－a3＝14－5＝9，故选B.]3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20D．24B[在等差数列中，由性质可得a2＋a10＝a4＋a8＝16.]4．17＋，13－的等差中项为________．15[设A为其等差中项，则A＝＝＝15.]等差中项及其应用【例1】(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．[解](1) －1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②将②代入①，得p＝1.所以p＝q＝1.三个数a，b，c成等差数列的条件是b＝，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2n∈N＋.[跟进训练]1．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为()A.B.C.D.A[因为a＋b＝＋＝＝＝2，所以a，b的等差中项为.]等差数列性质的应用【例2】在公差为d的等差数列{an}中．(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.[思路点拨]解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．[解]法一：(1)化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.(2)化成a1和d的方程如下：解得或∴d＝3或－3.法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，及a2＋a24＝a3＋a23＝2a13.得4a13＝48，∴a13＝12.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，及a3＋a4＝a2＋a5得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17.解得或∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.1．利用等差数列的通项...
