高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5.1 函数的零点与方程的解讲义 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学教案VIP免费

4.5.1函数的零点与方程的解学习目标核心素养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是．函数的零点不是个点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.1．下列各图象表示的函数中没有零点的是()ABCDD[结合函数零点的定义可知选项D没有零点．]2．函数y＝2x－1的零点是()A.B.C.D．2A[由2x－1＝0得x＝.]3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为()A．(0,1)B．(－1,0)C．(2,3)D．(1,2)D[由f(－1)＝－<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(3)＝23>0，得f(x)的零点所在区间为(1,2)．]4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有________个零点．2[由Δ＝b2－4ac>0得二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点．]1求函数的零点【例1】(1)求函数f(x)＝的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)＝的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a.故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－.所以函数g(x)的零点为0和－.函数零点的求法1代数法：求方程fx＝0的实数根.2几何法：对于不能用求根公式的方程fx＝0，可以将它与函数y＝fx的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝.[解](1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.判断函数零点所在的区间【例2】(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的大致区间是()A．(3,4)B．(2，e)C．(1,2)D．(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是()x－10123ex0.3712.727.3920.08x＋3234562A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)(1)C(2)C[(1)因为f(1)＝ln2－<0，f(2)＝ln3－1>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)．故选C.(2)构造函数f(x)＝ex－x－3，由上表可得f(－1)＝0.37－2＝－1.63<0，f(0)＝1－3＝－2<0，f(1)＝2.72－4＝－1.28<0，f(2)＝7.39－5＝2.39>0，f(3)＝20.08－6＝14.08>0，f(1)·f(2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选C.]判断函数零点所在区间的三个步骤1代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.2判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.3结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.2．若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()A．－2B．0C．1D．3A[f(x)＝x＋(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选A.]函数零点的个数[探究问题]1．方程f(x)＝a的根的个数与函数y＝f(x)及y＝...