高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值讲义（含解析）湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学教案VIP免费

4．3.3三次函数的性质：单调区间和极值[读教材·填要点]1．三次函数的性质：单调区间和极值设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则F′(x)＝3ax2＋2bx＋c是二次函数．(1)函数F′(x)没有零点，F′(x)在(－∞，＋∞)上不变号，则：①若a＞0，则F′(x)恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a＜0，则F′(x)恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(2)函数F′(x)有一个零点x＝w，则：①若a＞0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒正，F(x)在(－∞，＋∞)上递增；②若a＜0，则F′(x)在(－∞，w)∪(w，＋∞)上恒负，F(x)在(－∞，＋∞)上递减．(3)函数F′(x)有两个零点，x＝u和x＝v，设u＜v，则：①若a＞0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为正，在(u，v)上为负；对应地，F(x)在(－∞，u)上递增，在(u，v)上递减，在(v，＋∞)上递增．可见F(x)在x＝u处取极大值，在x＝v处取极小值．②若a＜0，则F′(x)在(－∞，u)和(v，＋∞)上为负，在(u，v)上为正；对应地，F(x)在(－∞，u)上递减，在(u，v)上递增，在(v，＋∞)上递减．可见F(x)在x＝u处取极小值，在x＝v处取极大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[小问题·大思维]1．根据三次函数的性质能否画出其图象草图？提示：根据三次函数的单调性、极值，可以画出．2．在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．三次函数性质的确定与应用设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．[自主解答](1) f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，∴当x＜－或x＞时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－，)．当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4.(2)由(1)知，函数y＝f(x)的图象大致形状如图所示，当5－4＜a＜5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解．∴实数a的取值范围是(5－4，5＋4)．(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)． x＞1，∴k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴g(x)＞g(1)＝－3.∴k的取值范围是(－∞，－3]．1．求三次函数的单调区间与极值的问题，求导后转化为一元二次方程及一元二次不等式的求解问题去解决．2．解决不等式恒成立问题，大多可用函数的观点来审视，用函数的有关性质来处理，而导数是研究函数性质的有力工具，因而常将不等式f(x)>g(x)(f(x)0(F(x)＝f(x)－g(x)<0)恒成立问题，再用导数方法探讨F(x)的单调性及最值．1．已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－2时都取得极值．(1)求a，b的值；(2)若x∈[－3,2]时都有f(x)>－恒成立，求c的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意，得即解得(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋3x－6＝3(x＋2)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表所示：x－3(－3，－2)－2(－2,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)＋c极大值c＋10极小值c－2＋c∴f(x)在[－3,2]上的最小值为c－.即－.即c的取值范围为∪.求函数的最值求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．[自主解答](1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1或x＝0或x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－6...