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高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性讲义(含解析)湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学教案VIP免费

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4.3.1利用导数研究函数的单调性[读教材·填要点]函数在区间(a,b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系:导函数的正负函数在(a,b)上的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)=0常数函数[小问题·大思维]1.在区间(a,b)内,若f′(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?提示:不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在0处的导数等于零.也就是说f′(x)>0是y=f(x)在某个区间上递增的充分不必要条件.2.右图为导函数y=f′(x)的图象,则函数y=f(x)的单调区间是什么?提示:单调递增区间:(-∞,-3],[-2,1],[3,+∞);单调递减区间:[-3,-2],[1,3].判断(或证明)函数的单调性已知函数f(x)=ax3-3x2+1-,讨论函数f(x)的单调性.[自主解答]由题设知a≠0.f′(x)=3ax2-6x=3ax,令f′(x)=0,得x1=0,x2=.当a>0时,若x∈(-∞,0),则f′(x)>0.∴f(x)在区间(-∞,0)上为增函数.若x∈,则f′(x)<0,∴f(x)在区间上为减函数.若x∈,则f′(x)>0,∴f(x)在区间上是增函数.当a<0时,若x∈,则f′(x)<0.∴f(x)在上是减函数.若x∈,则f′(x)>0.∴f(x)在区间上为增函数.若x∈(0,+∞),则f′(x)<0.∴f(x)在区间(0,+∞)上为减函数.利用导数判断或证明函数单调性的思路1.求证:函数f(x)=ex-x-1在(0,+∞)内是增函数,在(-∞,0)内是减函数.证明:由f(x)=ex-x-1,得f′(x)=ex-1.当x∈(0,+∞)时,ex-1>0,即f′(x)>0.∴f(x)在(0,+∞)内为增函数.当x∈(-∞,0)时,ex-1<0,即f′(x)<0.∴f(x)在(-∞,0)内是减函数.求函数的单调区间求下列函数的单调区间:(1)f(x)=3x2-lnx;(2)f(x)=-ax3+x2+1(a≤0).[自主解答](1)函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-=,令f′(x)>0,即>0, x>0,∴6x2-1>0,∴x>.令f′(x)<0,即<0, x>0,∴6x2-1<0,∴00⇔(-ax+2)x>0⇔x>0⇔x>0或x<;f′(x)<0⇔0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.方法二:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;(4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.2.已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)由题意得f′(x)=,又f′(1)==0,故k=1.(2)由(1)知,f′(x)=.设h(x)=-lnx-1(x>0),则h′(x)=--<0,即h(x)在(0,+∞)上是减函数.由h(1)=0知,当00,从而f′(x)>0;当x>1时,h(x)<0,从而f′(x)<0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).已知函数的单调性求参数范围已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x,a≠0.(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.[自主解答](1)h(x)=lnx-ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h′(x)=-ax-2.因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解.设G(x)=-,所以只要a>G(x)min即可.而G(x)=2-1,所以G(x)min=-1.所以a>-1.即实数a的取值范围是(-1,+∞).(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减,所以x∈[1,4]时,h′(x)=-ax-2≤0恒成立.即a≥-恒成立.所以a≥G(x)max.而G(x)=2-1.因为x∈[1,4],所以∈.所以G(x)max=-(此时x=4).所以a≥-.当a=-时,h′(x)=+x-2==. x...

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