高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.2 函数的极大值和极小值讲义（含解析）湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学教案VIP免费

4．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)＜f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值点与极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)＞f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．极大值与极小值的判断(1)如果f(x)在(a，x0]上递增，在[x0，b)上递减，则f(x)在x＝x0处取到极大值；(2)如果f(x)在(a，x0]上递减，在[x0，b)上递增，则f(x)在x＝x0处取到极小值．3．极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能即有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求函数的极值求下列函数的极值：(1)f(x)＝x4－2x2；(2)f(x)＝x2e－x.[自主解答](1)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－1或x＝1.列表：x(－∞，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－0＋f(x)极小值极大值极小值从表中可以看出：当x＝0时，函数有极大值，且f(0)＝0；当x＝－1或x＝1时，函数有极小值，且f(－1)＝f(1)＝－1.(2)函数的定义域为R.f′(x)＝′＝＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x＝－e－xx(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.列表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值由上表可以看出：当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.求可导函数f(x)极值的步骤(1)求函数的导数f′(x)；(2)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；(3)列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；(4)判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．要注意函数的定义域．1．求函数f(x)＝－2的极值．解：函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)－3－1所以当x＝－1时，函数有极小值，且f(x)极小值＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(x)极大值＝－1.极值的逆运用已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0.求a，b的值．[自主解答] f(x)在x＝－1时有极值0且f′(x)＝3x2＋6ax＋b.∴即解得或当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．当x∈(－∞，－3)时，f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数．所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.若将“在x＝－1时有极值0”改为“在x＝－1和x＝3处有极值”，如...