3．7点到平面的距离[读教材·填要点]1．点到平面的距离(1)定义：从空间中一点P到平面α作垂线PD交平面α于D，则线段PD的长度d称为点P到平面α的距离．(2)求法：平面α的法向量n以及平面上任一点A，则AP在法向量n所在方向上的投影长度d就等于点P到平面α的距离，即d＝.2．直线与平面的距离设直线l平行于平面α，则l上所有的点到α的距离相等，称为l与α的距离，显然，只要在l上任取一点P，求出P到α的距离，就得到l与α的距离．3．平面与平面的距离设两个平面α与β平行，则β上所有的点到α的距离d相等，d称为两个平行平面α，β之间的距离．显然，只要在β上任取一点P，求出P到α的距离，就得到了这两个平面的距离．[小问题·大思维]1．求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？提示：直线与平面平行，平面与平面平行．2．点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离．求点到平面的距离四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．[自主解答](1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)．FP＝(－1,0,2)，FB＝(1,2,0)，DE＝(0,1,1)，∴DE＝FP＋FB，∴DE∥平面PFB.又 DE⊄平面PFB，∴DE∥平面PFB.(2) DE∥平面PFB，∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，则⇒令x＝2，得y＝－1，z＝1.∴n＝(2，－1,1)，又 FD＝(－1,0,0)，∴点D到平面PFB的距离d＝＝＝.∴点E到平面PFB的距离为.利用空间向量求点到平面的距离的四步骤1．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2.求点M到平面AB1P的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B1(0,0,4)，P(0,4,0)，M(2,3,4)设n＝(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n⊥AB1，n⊥AP， AB1＝(－4,0,4)，AP＝(－4,4,0)，∴因此可取n＝(1,1,1)，由于MA＝(2，－3，－4)，所以点M到平面AB1P的距离为d＝＝＝，故M到平面AB1P的距离为.求直线与平面、平面与平面的距离棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求直线A1D1到平面EFGH的距离．[自主解答]以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则E，F，G，D1(0,0,1)，∴EF＝(－1,0,0)，FG＝.设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF＝0，且n·FG＝0，即令z＝6，可得n＝(0，－1,6)．又D1F＝，∴d＝＝.(1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离．(2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解．2．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离．解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1B＝(0,1，－1)，A1D＝(－1,0，－1)，A1D1＝(－1,0,0)．设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则⇒令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)．∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. 平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求直线BD与B1C的距离．[解]法一：连接AC，交BD于点O，则O为AC，BD的中点，取CC1的中点M，连接BM交B1C于E，连接OM，AC1，则OM∥AC1，过E作EF∥OM交OB于F，则EF∥AC1，又斜线AC1的射影为AC，BD⊥AC，∴BD⊥AC1，∴EF⊥BD.同理AC1⊥B1C，EF⊥B1C.∴EF为BD与B1C的公垂线． M为CC1的中点，∴△MEC∽△BEB1，∴＝＝. BM＝a，∴BE＝MB＝a， EF∥OM，∴＝＝，故BF＝OB＝a，∴EF＝＝a.法二：(转化为直线到平面的距离)BD∥平面B1D1C，B1C⊂平面B1D1C，故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离为h，由VBB1D1C＝VD1B1BC，即·(a)2h＝...
