3．4-3.5直线与平面的垂直关系平面的法向量[读教材·填要点]1．射影(1)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的射影．(2)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的射影．2．三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．3．平面的法向量与平面α垂直的非零向量称为α的法向量．[小问题·大思维]1．平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的．2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α有怎样的位置关系？提示： (1,1,1)·(0,1，－1)＝0，(1,1,1)·(1，－1，0)＝0，而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α.利用判定定理用向量法证明线面垂直在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.[自主解答]设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2，0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2)．EF＝(－1，－1,1)，AB1＝(0,2，2)，AC＝(－2,2,0)．∴EF·AB1＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF·AC＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直．1．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1，AB＝2AD，点E是线段C1D1的中点，求证：DE⊥平面EBC.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AD＝1，则AA1＝1，AB＝2，则可得D(0,0,0)，E(0,1,1)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，DE＝(0,1,1)，EB＝(1,1，－1)，EC＝(0,1，－1)，因为DE·EB＝1－1＝0，DE·EC＝1－1＝0，所以DE⊥EB，DE⊥EC，又EB∩EC＝E，所以DE⊥平面EBC.求平面的法向量在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF的法向量．[自主解答]以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则G，E，F，∴GE＝，GF＝.设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝z＝1，则x＝1，∴平面GEF的一个法向量为(1,1,1)．本例条件不变，求平面A1EFC1的法向量．解：A1(a,0，a)，E，F，∴A1E＝，A1F＝.设平面A1EFC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝2，z＝1，则x＝2.∴平面A1EFC1的一个法向量为(2,2,1)．求平面法向量的一般步骤为：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量．2．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求出平面ABC的一个法向量．解：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)，由题设得：即解得取y＝1，则x＝2.故平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,0)．利用法向量证明线面垂直如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．试用向量法判断MN与平面A1BD的位置关系．[自主解答]设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.则B(1,1,0)，A1(1,0,1)，M，N，∴DA1＝(1,0,1)，DB＝(1,1,0)，MN＝.设平面A1BD的一个法向量为n0＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝z＝－1，∴n0＝(1，－1，－1)．∴n0＝－2MN，即n0∥MN.∴MN⊥平面A1BD.利用法向量证明线面垂直，即通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来证明线面垂直．解决此类问题的关键是正确求解平面的法向量．3．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为...
