高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量讲义 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学教案VIP免费

3.2.1直线的方向向量与平面的法向量学习目标核心素养1.理解直线的方向向量和平面的法向量．(重点)2.会用待定系数法求平面的法向量．(难点)3.平面法向量的设法．(易错点)通过求直线的方向向量和平面的法向量，培养数学运算素养.1．直线的方向向量我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示]不唯一，直线的方向向量(平面的法向量)有无数个，它们分别是共线向量．1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)A[AB＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]2．已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x＝________.[解析]AB＝(－1,0,1)，由题意知，a∥AB，则存在实数λ，使a＝λAB，即(2,0，x)＝λ(－1,0,1)，即∴λ＝－2，x＝－2.[答案]－23．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交C[因为AB＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz.]4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量可表示为________．[设平面的法向量为a＝(x，y，z)，则有∴令z＝1，得y＝－1，x＝，∴a＝故平面ABC的一个单位法向量为a＝.]直线的方向向量及其应用【例1】(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为________，点P的坐标为________．1[思路探究](1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)AB即是直线AB的一个方向向量，利用AP＝AB求点P的坐标．(1)－146(2)(0,6,2)[(1)由l1∥l2可知，向量(－7,3,4)和(x，y,8)共线，所以＝＝，解得x＝－14，y＝6.(2)AB＝(0,6,2)是直线AB的一个方向向量．由AP∶PB＝3∶2，得AP＝AB.设P(x，y，z)，则(x－2，y，z－1)＝(0,6,2)，即x－2＝0，y＝，z－1＝2·，解得x＝2，y＝，z＝，所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为.]1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．1．若直线l1的方向向量a＝(1,3x，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2,2y,5)，且l1⊥l2，则xy＝________.2[因为l1⊥l2，所以a·b＝0，即－2＋6xy－10＝0，所以xy＝2.]求平面的法向量【例2】如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SBA与平面SCD的法向量．[思路探究]因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解．[解] AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以AD，AB，AS的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，AD＝是平面SBA的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，有n⊥DC，n⊥DS，则n·DC＝(1，λ，u)·＝＋λ＝0，∴λ＝－.n·DS＝(1，λ，u)·＝－＋u＝0，∴u＝，∴n＝.1．利用待定系数法求平面法向量的步骤22．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.2．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．[解]以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)．设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，M，N.∴AM＝，AN＝.设平面AMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，...