高中数学 第3章 数系的扩充与复数章末复习课讲义 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学教案VIP专享VIP免费

第3章数系的扩充与复数复数的概念正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．【例1】复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．[思路探究]根据复数的分类列方程求解．[解](1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以由①得x>或x<.由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>且x≠4时，z为虚数．1．设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．[解析](1)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得解得故复数z的实部是1．法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1．[答案](1)D(2)1复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·为实数．【例2】(1)设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·z＝()A．－2B．－2iC．2D．2i(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i[思路探究](1)先求出及，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．[解析](1) z＝1＋i，∴z＝1－i，＝＝＝1－i，∴＋i·z＝1－i＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.[答案](1)C(2)A2．已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为()A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i[解析]因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.[答案]A复数的几何意义1．复数的几何表示法：即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．【例3】(1)在复平面内，复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)在复平面内，复数对应的点的坐标为()A．(0，－1)B．(0,1)C.D.[思路探究]先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．[解析](1)复数＝＝＝＋i.∴复数对应点的坐标是.∴复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2) ＝＝＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A.[答案](1)A(2)A3．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是()(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()A．EB．FC．GD．H[解析](1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z＝3＋i，所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．[答案](1)A(2)D转化与化归思想一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．【例4】设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.[思路探究]本题关键是设出z代入题中条件进而求出z.[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋＝x＋yi＋＝＋i， z＋∈R，∴y－＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1，又 z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数．∴∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，∴复数z＝±i.4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．[解]设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.由已知，得因为y≠0，所以解得或所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．1...