高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通项公式（第1课时）等比数列的概念及通项公式讲义 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案VIP免费

2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标核心素养1.理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3.会证明一个数列是等比数列．(难点)1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.1．等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．思考1：观察下列4个数列，归纳它们的共同特点．①1,2,4,8,16，…；②1，，，，，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，….[提示]从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数．思考2：若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？[提示]不一定．当a1＝0时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数为0，故{an}不一定为等比数列．2．等比数列的通项公式如果数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab.(2)若数列{an}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1·an＋1.思考3：任意两个非零常数都有等比中项吗？若有，有几个？[提示]当ab>0时，a，b的等比中项有两个，且这两个数互为相反数；当ab<0时a，b没有等比中项．1．2＋和2－的等比中项是()A．1B．－1C．±1D．2C[设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.]2．下列数列为等比数列的序号是________．①2,22,3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0.②[≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②所以②÷①得q3＝，所以q＝.]4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.－729[由等比数列定义知＝＝＝q.所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]等比数列的通项公式及应用【例1】在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.[解](1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．1．在等比数列{an}中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求an.[解](1) a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.(2)因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝.等比中项【例2】(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是()A．±4B．4C．±D.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．思路探究：(1)用定义求等比中项．(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．(1)A[由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.](2)[证明]b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．等比中项应用的三点注意1由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，...