高中数学 第2章 数列 2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通项公式（第2课时）等比数列的性质讲义 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案VIP免费

第2课时等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点)1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.1．等比数列与指数函数的关系如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．思考1：我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比数列也有类似变形吗？[提示]在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝amqn－m(n，m∈N*)．思考2：我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定．等比数列的通项公式是否也可做类似变形？[提示]设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.则an＝a1qn－1＝·qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值．由于an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，所以{an}的单调性由a1，q，q－1的正负共同决定．2．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列[答案]D2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝______，an＝______.243×2n－1[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]3．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________.9[因为a7＝a5q2，所以q2＝.所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.]4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．25[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]等比数列的性质【例1】在等比数列{an}中，(1)若a3a5a7a9a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a3a6＝32，求log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．[解](1) a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2a1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便.提醒：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.1．(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.[解](1) {an}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a，a3·a5＝a，∴a6·a10＋a3·a5＝a＋a＝41，又a4·a8＝4，∴(a4＋a8)2＝41＋2×4＝49，且an>0，∴a4＋a8＝7.(2)∴a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，∴∴a5>0，a9>0.又 a＝a5·a9＝1，且a7＝a5·q2>0，∴a7＝1.等比数列的实际应用【例2】某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N*)时这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？思路探究：根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决．[解](1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…，...