高中数学 第2章 数列 2.2.3 等差数列的前n项和（第1课时）等差数列的前n项和讲义 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案VIP免费

第1课时等差数列的前n项和学习目标核心素养1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．(难点)2．掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点)1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与Sn关系的应用，培养数学运算素养．2．借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.1．数列的前n项和的概念一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.思考1：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an?[提示]an＝2．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝Sn＝na1＋d思考2：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？[提示]S3＝＝3a2＝21.1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝()A．230B．420C．450D．540B[S20＝20a1＋d＝20×2＋20×19＝420.]2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________.[因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝.]3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.24[由S10＝＝120，解得a1＋a10＝24.]4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________.48[设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.]等差数列前n项和的有关计算【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.[解](1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.∴n＝15，d＝－.(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又 a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用.1．在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.[解](1)解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S17＝＝＝＝340.an与Sn的关系的应用[探究问题]1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？[提示]使用条件是n≥2.2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2016＋a2017＋a2018如何用前n项和Sn表示？[提示]a2016＋a2017＋a2018＝S2018－S2015.3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？[提示]对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N*)来表示．【例2】设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.(1)求a1及an；(2)判断这个数列是否是等差数列．思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．[解](1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32.(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)，所以数列{an}是等差数列．1．(变条件，变结论)将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an.[解]由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．∴an＝2．(变条件，变结论)将本例中的条件“Sn＝2n2－30n”变为“正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2”，求{bn}的通项公式．[解]当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1，∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2＝(b－b＋2bn－2bn－1)．整理得：b－b－2bn－2bn－1＝0，∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)．∴{bn}为等差数列．又 b1＝(b1＋1)2，∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－...