高中数学 第2章 数列 2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项公式（第2课时）等差数列的性质讲义 苏教版必修5-苏教版高二必修5数学教案VIP免费

第2课时等差数列的性质学习目标核心素养1.掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养．2．借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.1．等差数列与一次函数(1)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝＝，从而有an＝am＋(n－m)d.思考1：已知等差数列中任意两项是否可以直接求公差？[提示]等差数列{an}的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点，任选其中两点(n，an)(m，am)(m≠n)，类比直线的斜率公式可知公差d＝.2．等差中项如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝.我们把A＝叫做a和b的等差中项．3．等差数列的性质(1)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(3)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)(4){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．思考2：等差数列{an}中，若a5＝7，a9＝19，则a2＋a12＝________，a7＝________.[提示] a2＋a12＝2a7＝a5＋a9＝26，∴a2＋a12＝26，a7＝13.思考3：还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？[提示]利用1＋100＝2＋99＝….1．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于()A．5B．8C．10D．14C[a1＋a7＝a3＋a5＝10.]2．等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A．2B．20C．100D．不确定A[ a100－a90＝10d，∴10d＝20，即d＝2.]3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________.33[由题意得d＝＝＝3.∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33.]4．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________.15[由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12＝16，又 a4＝1，∴a12＝15.]等差中项及其应用【例1】已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．思路探究：由x1，x4，x5成等差数列得出一个关于p，q的等式，结合x1＝3推出2p＋q＝3，从而得p，q.[解]由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①②得，q＝1，p＝1.在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1n≥2，n∈N*，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.1．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[解](1) －1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5，∴该数列为－1,1,3,5,7.等差数列的性质及应用【例2】(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值；(2)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；(3)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．思路探究：(1)利用等差中项求解；(2)利用m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq求解；(3)利用d＝求解．[解](1)由等差数列的性质，得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10，∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(2) a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d，得an＝2n－7或an＝－2n＋13.(3) a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝＝，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.解决本类问...