高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 直接证明讲义（含解析）苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学教案VIP专享VIP免费

2.2.1直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4.证明：因为2a＋2b≥2＝2，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥2＝4.故2a＋2b≥4成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：＋2<2＋.证明：要证明＋2<2＋，由于＋2>0,2＋>0，只需证明(＋2)2<(2＋)2，展开得11＋4<11＋4，只需证明6<7，显然6<7成立．所以＋2<2＋成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式…⇒⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法……⇒⇒⇒分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法……⇐⇐⇐1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．综合法的应用[例1]已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析] a2＋≥，b2＋≥，c2＋≥，∴＋＋≥a＋b＋c＝(a＋b＋c)＝.∴a2＋b2＋c2≥.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋>＋＋.证明： a>0，b>0，c>0，且abc＝1，∴＋＋＝bc＋ca＋ab.又bc＋ca≥2·＝2＝2，同理bc＋ab≥2，ca＋ab≥2. a、b、c不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．∴2(bc＋ca＋ab)>2(＋＋)，即bc＋ca＋ab>＋＋，故＋＋>＋＋.2.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)，因为a⊥b，所以a·b＝0，又因为aπ，n⊥π，所以a·n＝0，故a·c＝0，从而a⊥c.法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c. PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a.又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO.又c平面PAO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．分析法的应用[例2]已知a>b>0，求证：<－<.[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]要证明<－<成立，只需证2，即<. a>b>0，∴<成立．∴<－<成立．[一点通]在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的...