§5从力做的功到向量的数量积学习目标核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点)2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)1.通过学习平面向量数量积的含义及其物理意义，体会数学抽象素养．2.通过运用数量积的运算性质及运算律解决长度、夹角、平行、垂直的问题，提升数学运算素养．1．向量的夹角定义已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特例θ＝0°a与b同向θ＝180°a与b反向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直思考1：△ABC为正三角形，设AB＝a，BC＝b，则向量a与b的夹角是多少？[提示]如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则BD＝a， △ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.2．向量的数量积(1)射影|b|cos_θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影).(2)数量积已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos_θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ，其中θ是a与b的夹角．(3)规定零向量与任一向量的数量积为0．(4)几何意义a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos_θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积．(5)性质①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cosθ.②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0．③|a|＝＝.④cosθ＝(|a||b|≠0).⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(6)运算律已知向量a，b，c与实数λ，则：①交换律：a·b＝b·a；②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.思考2：向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗？[提示]如图所示，OA＝a，OB＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cosθ.|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影，|a|cosθ叫作向量a在b方向上的射影．1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在b方向上的投影为()A．－4B．4C．－2D．2A[向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝＝＝－4，故选A.]2．已知三角形ABC中，BA·BC<0，则三角形ABC的形状为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形A[ BA·BC＝|BA|·|BC|·cosB<0，∴cosB<0，又 B为△ABC的内角．∴
