§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量学习目标核心素养1.理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点)2.理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点)3.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点)1.通过学习数乘运算及其几何意义，体会数学抽象素养．2.通过运用向量共线定理解决相关问题，培养数学运算素养．1．数乘向量及运算律(1)向量数乘的定义一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．(2)向量数乘的运算律设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：①结合律：λ(μa)＝(λμ)a；②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb．思考1：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？[提示]3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．2．共线向量定理(1)判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa．思考2：若b＝2a，b与a共线吗？[提示]根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.1．在四边形ABCD中，若AB＝－CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形C[因为AB＝－CD，所以AB∥CD，且AB＝CD，所以四边形ABCD为梯形．]2．下列各式计算正确的有()①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1个B．2个C．3个D．4个C[①③④正确．]3．已知向量a与b不共线，向量c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量c与d的关系是________．(填“共线”或“不共线”)共线[d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c，所以向量c与d共线．]4.＝________．2b－a[＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a.]向量数乘的定义【例1】已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；(2)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的倍；(3)－2a与2a是一对相反向量；(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量．[解](1)真命题． 2a＝a＋a与a方向相同，且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|.(2)真命题． －2a＝(－a)＋(－a)与－a同方向，3a＝a＋a＋a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，又 |－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的倍．(3)真命题． －2a＋2a＝(－2＋2)a＝0，故－2a与2a是一对相反向量，(4)假命题． －(b－a)与b－a是一对相反向量，a－b与b－a是一对相反向量，∴－(b－a)与a－b是相等的．对数乘向量的四点说明(1)λa的实数λ叫作向量a的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.(4)向量的运算不满足消去律，不能除以一个向量．1．已知λ，μ∈R，则在下列各命题中，正确的命题有()①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；②λ>0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．A．1个B．2个C．3个D．4个D[由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②正确，对于命题③④，当λμ>0时，λ，μ同正或同负，∴λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，∴λa与μa同向，当λμ<0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，∴λa与μa反向，故③④也正确．]向量的线性运算【例2】(1)计算下列各式：①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b).(2)设x，y是未知向量．①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；②解方程组[解](1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.②原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0×a＋0×b＝0.(2)①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，即8x＝－5a＋3b，所以x＝－a＋b.②把第一个方程的左、右两边同乘－2，然后与第二个方程相加，得y...
