第2课时数量积的坐标表示学习目标核心素养(教师独具)1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算．(重点)2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式．(重点)3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．(重点、难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.一、平面向量数量积的坐标运算若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．二、向量的长度、夹角、垂直的坐标表示1．向量的模：设a＝(x，y)，则a2＝x2＋y2，即|a|＝.2．向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ＝＝.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.思考：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量AB的模？[提示] AB＝OB－OA＝(x2－x1，y2－y1)，∴|AB|＝.1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝()A．1B．－1C．5D．－5B[ a＝(1，－1)，b＝(2,3)，∴a·b＝1×2－3＝－1.]2．已知a＝(－2，x)，b＝(0,1)，若a·b＝3，则x＝________.3[ a＝(－2，x)，b＝(0,1)，∴a·b＝x＝3.]3．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则|a|＝________，a与b的夹角为________．5[ a·b＝－15，|a|＝＝5，|b|＝3，∴cosθ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝.]4．已知a＝(3,1)，b＝(x，－5)，若a⊥b，则x＝________.[ a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－5＝0，∴x＝.]数量积的坐标运算1【例1】已知a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)，求(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a＋b)；(3)(a·b)·c.思路点拨：先求相关向量的坐标，再代入坐标运算表达式求解．[解](1)a·b＝1×2＋3×5＝17.(2) a＋b＝(3,8)，2a＋b＝(4,11)，∴(a＋b)·(2a＋b)＝12＋88＝100.(3)(a·b)·c＝17c＝(34,17)．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件，找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算，列出方程组来进行求解.1．已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c.[解](1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2) b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a·(b·c)＝0·a＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．向量的夹角【例2】已知A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值．思路点拨：先求AB，AC，再代入向量夹角公式求∠BAC的余弦值．[解] AB＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，AB·AC＝3×(－1)＋3×6＝15.又|AB|＝＝3，|AC|＝＝，∴cos∠BAC＝＝＝.已知a，b的坐标求夹角时，应先求出a，b及|a|，|b|，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小.2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，－4)，|c|＝，若(c－b)·a＝，则a与c的夹角为________．120°[ a·b＝－10，∴(c－b)·a＝c·a－b·a＝c·a＋10＝，∴c·a＝－.设a与c的夹角为θ，则2cosθ＝＝＝－.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.]向量平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则其坐标间满足什么等量关系？a⊥b呢？提示：a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.2．在△ABC中，已知点A，B，C的坐标，如何用向量法求BC边上的高的大小？提示：设高AD交边BC于点D，由B，D，C三点共线及AD·BC＝0可求点D的坐标，进而可求|AD|.【例3】已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．思路点拨：设D(x，y)，由BD＝λBC及AD·BC＝0可求D，进而求|AD|.[解]设点D坐标为(x，y)，则AD＝(x－2，y＋1)，BC＝(－6，－3)，BD＝(x－3，y－2)， D在直线BC上，即BD与BC共线，∴存在实数λ，使BD＝λBC，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又 AD⊥BC，∴AD·BC＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.②由①②可得即D点坐标为(1,1)，AD＝(－1,2)，∴|AD|＝＝，即|AD|＝，D(1,1)．1．(变条件)本例中...
