第1课时数量积的定义学习目标核心素养(教师独具)1.了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点)2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点)3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点)通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象核心素养.一、向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.思考1：两个向量的数量积是向量吗？[提示]两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．思考2：数量积的大小和符号与哪些量有关？[提示]数量积的大小与两个向量的长度及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定．二、两个向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，如图所示．作OA＝a，OB＝b，则∠AOB称为向量a与b的夹角．2．范围：0°≤θ≤180°.3．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．4．当θ＝90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.思考3：把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？[提示]角．三、向量的数量积的运算律及性质1．向量数量积的运算律：已知向量a，b，c和实数λ.(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.2．数量积的性质：(1)a·a＝|a|2或|a|＝；(2)|a·b|≤|a||b|；(3)a⊥b⇒a·b＝0.3．数量积的几何意义：1a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．思考4：向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？[提示]向量线性运算结果是向量，而数量积运算结果是数量．思考5：向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？[提示]不一定相同．1．已知|a|＝3，|b|＝6，则(1)若a与b夹角为0°，则a·b＝________；(2)若a与b的夹角为60°，则a·b＝________；(3)若a与b的夹角为90°，则a·b＝________.(1)18(2)9(3)0[(1)a·b＝|a||b|cos0°＝|a||b|＝18.(2)a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×＝＝9.(3)a·b＝|a||b|cos90°＝3×6×0＝0.]2．试指出图中向量的夹角，图①中向量OA与OB的夹角________；图②中向量OA与OB的夹角________；图③中向量OA与OB的夹角________；图④中向量OA与OB的夹角________．[答案]θ0°180°θ3．已知|a|＝3，|b|＝5，a与b的夹角为45°，则a在b上的投影为________；b与a上的投影为________．[a在b上的投影为|a|cos45°＝3×＝；b在a上的投影为|b|cos45°＝5×＝.]向量数量积的运算及几何意义【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．思路点拨：借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．[解](1)a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.1．求平面向量数量积的步骤：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③2求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ.要特别注意书写时，a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．1．已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)AB·AC；(2)AB·BC；(3)BC·AC.[解](1) AB与AC的夹角为60°，∴AB·AC＝|AB||AC|cos60°＝1×1×＝.(2) AB与BC的夹角为120°，∴AB·BC＝|AB||BC|cos120°＝1×1×＝－.(3) BC与AC的夹角为60°，∴BC·AC＝|BC||AC|cos60°＝1×1×＝.求向量的模【例2】已知向量OA＝a，OB＝b，∠AOB＝60°，且|a|＝|b|＝4.求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.思路点拨：根据已知条件将向量的模利用|a|＝转化为数量积的运算求解．[解] a·b＝|a|·|b|cos∠AOB＝4×4×＝8，∴|a＋b|＝＝＝＝4，|a－b|＝＝＝＝4，|3a＋b|＝＝＝＝4.1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．2．已知向量a与b夹角为45°...
