第2课时向量平行的坐标表示学习目标核心素养(教师独具)1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(重点)3.掌握三点共线的判断方法．(难点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.向量平行的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.思考：当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？[提示]坐标不为0时成正比例．1．下列各组向量中，共线的是()A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)D[ 在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3,2)，∴b＝－2(－3,2)＝－2a，∴a与b共线．]2．若a＝(2,3)，b＝(x,6)，且a∥b，则x＝________.4[ a∥b，∴2×6－3x＝0，即x＝4.]3．已知四点A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，－4)，则AB与CD的关系是________．(填“共线”或“不共线”)共线[AB＝(2,1)－(－2，－3)＝(4,4)，CD＝(－7，－4)－(1,4)＝(－8，－8)，因为4×(－8)－4×(－8)＝0，所以AB∥CD，即AB与CD共线．]向量平行的判定1【例1】已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，判断AB与CD是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？思路点拨：根据已知条件求出AB和CD，然后利用两向量平行的条件判断．[解] A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，∴AB＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)． (－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0，∴AB与CD平行且方向相反．此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断.提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.1．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE＝AC，BF＝BC，求证：EF∥AB.[证明]设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．依题意有，AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，AB＝(4，－1)． AE＝AC，∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，∴点E的坐标为，同理点F的坐标为，∴EF＝.又×(－1)－4×＝0，∴EF∥AB.利用向量共线求参数的值【例2】已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？思路点拨：充分利用向量共线的条件解题．[解]法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以解得k＝λ＝－.当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．法二：由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.这时ka＋b＝＝－(a－3b)．2所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．2．利用x1y2－x2y1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值．[解]因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2.共线向量与定比分点公式[探究问题]1．若点P(x，y)是线段P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，试用P1，P2的坐标表示点P的坐标．提示：P，因为P1P＝P1P2，所以(x－x1，y－y1)＝(x2－x1，y2－y1)，∴x＝，y＝.2．若P1P＝λPP2，则点P的坐标如何表示？提示：P，推导方法类同于探究问题1.已知两点A(3，－4)，B(－9,2)在直线AB上，求一点P使|AP|＝|AB|.思路点拨：分“AP＝±AB”两类分别求点P的坐标．[解]设点P的坐标为(x，y)，①若点P在线段AB上，则AP＝PB，∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)，解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．②若点P在线段BA的延长线上，则AP＝－PB，∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x2－y)，解得x＝7，y＝－6...
